Calcule integralgamma 2 x d s, onde gamma é formada pelo arco de gamma1 da parábolay =x^2 de (0,0) a (1,1) seguido pelo segmento vertical gamma2 de (1,1) a (1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral . Basicamente, a gente quer somar os valores de ao longo de uma curva . Essa curva é dividida em duas partes: primeiro, o arco da parábola indo de até , e depois um segmento vertical que vai de até . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar cada parte da curva e como calcular a integral ao longo de cada segmento.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte da curva, gamma1: x = t y = t^2 onde t in [0,1] , que é a parábola de a . Para integrar ao longo dessa curva, precisamos parametrizar . Uma maneira simples é usar como parâmetro. Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, calculamos o elemento de comprimento ds = raiz( dxdt )^2 + ( dydt )^2 , dt para dxdt = 1 e dydt = 2t . Sabemos que:
ds = raiz1^2 + (2t)^2 , dt = raiz1 + 4t^2 , dt
Para :
Então:

Passo 4

Agora, substituímos tudo na integral para integralgamma1 2x , ds = integral0^1 2t cdot raiz1 + 4t^2 , dt :
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja , então , o que nos dá .

Passo 5

Substituindo na integral:
integral0^1 2t cdot raiz1 + 4t^2 , dt = 28 integralu(0)^u(1) raizu , du = 14 integral1^5 u^1/2 , du
Agora, integramos 14 cdot [ 23 u^3/2 ]1^5 = 14 cdot 23 (5^3/2 - 1^3/2) = 16 (5raiz5 - 1) :

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte da curva, gamma2: x = 1 y = t onde t in [1,2] , que é o segmento vertical de a . Aqui, é constante igual a 1, e varia de 1 a 2. Podemos parametrizar usando como parâmetro:

Passo 7

Calculamos ds = raiz( dxdt )^2 + ( dydt )^2 , dt = raiz0^2 + 1^2 , dt = 1 , dt para :

Passo 8

Agora, substituímos na integral para integralgamma2 2x , ds = integral1^2 2 cdot 1 cdot 1 , dt = 2 integral1^2 dt = 2(2 - 1) = 2 :

Passo 9

Finalmente, somamos as integrais das duas partes da curva:
Integral total = 16 (5raiz5 - 1) + 2

Resposta

A integral vale .

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