Calcule
, onde
é formada pelo arco de
da parábolay
de
a
seguido pelo segmento vertical
de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral
. Basicamente, a gente quer somar os valores de
ao longo de uma curva
. Essa curva é dividida em duas partes: primeiro, o arco da parábola
indo de
até
, e depois um segmento vertical que vai de
até
. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar cada parte da curva e como calcular a integral ao longo de cada segmento.
Passo 2
Vamos começar com a primeira parte da curva,
, que é a parábola
de
a
. Para integrar ao longo dessa curva, precisamos parametrizar
. Uma maneira simples é usar
como parâmetro. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, calculamos o elemento de comprimento
para
. Sabemos que:
Para
:
Então:
Passo 4
Agora, substituímos tudo na integral para
:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja
, então
, o que nos dá
.
Passo 5
Substituindo na integral:
Agora, integramos
:
Passo 6
Agora, vamos para a segunda parte da curva,
, que é o segmento vertical de
a
. Aqui,
é constante igual a 1, e
varia de 1 a 2. Podemos parametrizar
usando
como parâmetro:
Passo 7
Calculamos
para
:
Passo 8
Agora, substituímos na integral para
:
Passo 9
Finalmente, somamos as integrais das duas partes da curva:
Resposta
A integral
vale
.
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Um campo vetorial
é dado por
. Verifique se
é um campo conservativo. Justifique sua resposta!
Um cone é feito de uma folha circular de raio
, cortando um setor e colando as bordas cortadas da peça restante. Qual é o volume máximo atingível para o cone?
Use que o volume de um cone é (raio)
(altura).
Use que o volume de um cone é
Aplique a definição de integral de linha e determine o trabalho feito pelo campo de força
,
ao se mover a partícula ao longo de um quarto de círculo
,
.
Um campo vetorial
é dado por
. Verifique se
é um campo conservativo. Justifique sua resposta!