Calcule , onde é formada pelo arco de da parábolay de a seguido pelo segmento vertical de a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral . Basicamente, a gente quer somar os valores de ao longo de uma curva . Essa curva é dividida em duas partes: primeiro, o arco da parábola indo de até , e depois um segmento vertical que vai de até . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar cada parte da curva e como calcular a integral ao longo de cada segmento.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte da curva, , que é a parábola de a . Para integrar ao longo dessa curva, precisamos parametrizar . Uma maneira simples é usar como parâmetro. Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, calculamos o elemento de comprimento para . Sabemos que:
Para :
Então:

Passo 4

Agora, substituímos tudo na integral para :
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja , então , o que nos dá .

Passo 5

Substituindo na integral:
Agora, integramos :

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte da curva, , que é o segmento vertical de a . Aqui, é constante igual a 1, e varia de 1 a 2. Podemos parametrizar usando como parâmetro:

Passo 7

Calculamos para :

Passo 8

Agora, substituímos na integral para :

Passo 9

Finalmente, somamos as integrais das duas partes da curva:

Resposta

A integral vale .

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