Um campo vetorial
é dado por
. Verifique se
é um campo conservativo. Justifique sua resposta!
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
. O desafio aqui é descobrir se esse campo é conservativo. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre campos conservativos e usar algumas ferramentas de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, o que é um campo conservativo? Um campo vetorial é chamado de conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial. Isso significa que existe uma função escalar
tal que
. Uma das maneiras de verificar isso é usando testes de derivadas parciais.
Passo 3
Para um campo
ser conservativo, é necessário que a derivada parcial de
em relação a
seja igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja:
Vamos identificar
e
no nosso campo:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 5
Comparando as derivadas que calculamos:
Claramente,
. Isso significa que a condição necessária para que o campo seja conservativo não é satisfeita.
Resposta
Não, o campo vetorial
não é conservativo, pois
.
Exercícios relacionados
Aplique a definição de integral de linha e determine o trabalho feito pelo campo de força
,
ao se mover a partícula ao longo de um quarto de círculo
,
.
Calcule
, onde
é formada pelo arco de
da parábolay
de
a
seguido pelo segmento vertical
de
a
.
Calcule
, onde
consiste no segmento de reta
de
a
, seguindo pelo segmento de reta vertical
de
a
.
Um campo vetorial
é dado por
. Encontre a função potencial do campo
, isto é, encontre a função tipo escalar
definida no domínio de
tal que
.