Um campo vetorial é dado por . Verifique se é um campo conservativo. Justifique sua resposta!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial . O desafio aqui é descobrir se esse campo é conservativo. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre campos conservativos e usar algumas ferramentas de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo conservativo? Um campo vetorial é chamado de conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial. Isso significa que existe uma função escalar tal que . Uma das maneiras de verificar isso é usando testes de derivadas parciais.

Passo 3

Para um campo ser conservativo, é necessário que a derivada parcial de em relação a seja igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja:
Vamos identificar e no nosso campo:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 5

Comparando as derivadas que calculamos:
Claramente, . Isso significa que a condição necessária para que o campo seja conservativo não é satisfeita.

Resposta

Não, o campo vetorial não é conservativo, pois .

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Um campo vetorial é dado por . Encontre a função potencial do campo , isto é, encontre a função tipo escalar definida no domínio de tal que .