Calcule integralgamma 2 x d x+z d y+x d z, onde gamma consiste no segmento de reta gamma1 de (2,0,0) a (3,4,5), seguindo pelo segmento de reta vertical gamma2 de (3,4,5) a (3,4,0).

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de linha . A curva é composta por dois segmentos de reta: vai de até e desce de até . Para resolver isso, a gente vai precisar usar parametrização de curvas e calcular a integral em cada segmento separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento x(t) = 2 + t(3-2) = 2 + t y(t) = 0 + t(4-0) = 4t z(t) = 0 + t(5-0) = 5t de a . A ideia é expressar em função de um parâmetro que varia de 0 a 1.
A parametrização fica:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular dx = ddtx(t), dt = 1, dt dy = ddty(t), dt = 4, dt dz = ddtz(t), dt = 5, dt :
integralgamma1 2x, dx + z, dy + x, dz = integral0^1 [2(2+t)(1) + 5t(4) + (2+t)(5)], dt
Substituindo na integral:
2(2+t) = 4 + 2t 5t cdot 4 = 20t (2+t) cdot 5 = 10 + 5t
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
4 + 2t + 20t + 10 + 5t = 14 + 27t
Totalizando:
integral0^1 (14 + 27t), dt = [14t + 272t^2]0^1 = 14(1) + 272(1)^2 - 0 = 14 + 13.5 = 27.5
Agora, integramos:

Passo 4

Agora, vamos parametrizar o segmento x(t) = 3 y(t) = 4 z(t) = 5 - 5t que vai de até . Como apenas está mudando, a parametrização é simples:
Onde .

Passo 5

Calculando dx = 0, dt dy = 0, dt dz = -5, dt para integralgamma2 2x, dx + z, dy + x, dz = integral0^1 [2(3)(0) + (5 - 5t)(0) + 3(-5)], dt = integral0^1 (-15), dt :
-15 integral0^1 dt = -15(1) - (-15)(0) = -15
Substituindo na integral:
Integrando:

Resposta

Somando as integrais dos dois segmentos:
27.5 + (-15) = 12.5
Portanto, o valor da integral é .

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