Aplique a desigualdade da média aos termos
e conclua que a sequência é crescente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para aplicar a desigualdade da média nos termos que são vezes e mais um termo igual a . Nosso objetivo é mostrar que a sequência está aumentando conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Desigualdade da Média. Na verdade, estamos falando da Desigualdade entre a Média Aritmética (MA) e a Média Geométrica (MG). Ela diz que, para qualquer conjunto de números positivos, a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica. Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa desigualdade aos nossos termos: vezes e . Primeiro, calculamos a Média Aritmética (MA):

Passo 4

Em seguida, calculamos a Média Geométrica (MG):

Passo 5

Aplicando a desigualdade MA ≥ MG:

Passo 6

Vamos elevar ambos os lados à potência para facilitar a comparação:

Passo 7

Rearranjando a expressão:
Isso mostra que está crescendo conforme aumenta, já que cada termo é maior que o anterior.

Resposta

A sequência é crescente.

Exercícios relacionados

Verifique as seguintes consequências da Proposição 1.21.
Se as sequências e convergem e para todo suficientemente grande então .
Se e então .
Sejam e . Se para todo então .
Seja uma funçã̃o positiva crescente definida para . Usando considerações geométricas, mostre que
Tome e deduza as desigualdades
Deduza que
e conclua que
Ou seja, . (Vale também a fórmula de Stirling: .)