Aplique a desigualdade da média aos n+1 termos
underbrace1-1n, ldots, 1-1nn termos , 1
e conclua que a sequência (1-1 / n)^n é crescente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para aplicar a desigualdade da média nos n+1 termos que são n vezes 1 - 1n e mais um termo igual a 1. Nosso objetivo é mostrar que a sequência (1 - 1n)^n está aumentando conforme n cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Desigualdade da Média. Na verdade, estamos falando da Desigualdade entre a Média Aritmética (MA) e a Média Geométrica (MG). Ela diz que, para qualquer conjunto de números positivos, a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica. Ou seja:
MA >= MG

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa desigualdade aos nossos n+1 termos: n vezes 1 - 1n e 1. Primeiro, calculamos a Média Aritmética (MA):
MA = n (1 - 1n) + 1n + 1 = n - 1 + 1n + 1 = nn + 1

Passo 4

Em seguida, calculamos a Média Geométrica (MG):
MG = ( (1 - 1n)^n times 1 )^1n + 1 = (1 - 1n)^nn + 1

Passo 5

Aplicando a desigualdade MA ≥ MG:
nn + 1 >= (1 - 1n)^nn + 1

Passo 6

Vamos elevar ambos os lados à potência (n + 1)/n para facilitar a comparação:
(nn + 1)^n + 1n >= 1 - 1n

Passo 7

Rearranjando a expressão:
(1 - 1n)^n >= (nn + 1)^n + 1 times n + 1n
Isso mostra que (1 - 1n)^n está crescendo conforme n aumenta, já que cada termo é maior que o anterior.

Resposta

A sequência (1 - 1n)^n é crescente.

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