Se lim x2 n=a e lim x2 n-1=a então lim xn=a.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência (xn) e sabemos que os limites das subsequências formadas pelos termos de índice par, lim x2n = a, e pelos termos de índice ímpar, lim x2n-1 = a, ambos são iguais a a. Precisamos mostrar que o limite da sequência inteira, lim xn, também é a. Para isso, vamos utilizar a definição de limite de uma sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite de uma sequência. Dizemos que lim xn = a se, para todo número positivo epsilon, existe um número natural N tal que, para todo n > N, a distância entre xn e a é menor que epsilon. Em fórmula:
forall epsilon > 0, exists N in N tal que n > N Rightarrow |xn - a| < epsilon

Passo 3

Sabemos que lim x2n = a. Aplicando a definição de limite, isso significa que, para todo epsilon > 0, existe um número natural N1 tal que, para todo n > N1, temos:
|x2n - a| < epsilon

Passo 4

De forma similar, sabemos que lim x2n-1 = a. Isso implica que, para todo epsilon > 0, existe um número natural N2 tal que, para todo n > N2, temos:
|x2n-1 - a| < epsilon

Passo 5

Agora, para garantir que ambos os casos (índices pares e ímpares) satisfaçam a condição do limite, escolhemos N como o máximo entre N1 e N2:
N = maxN1, N2
Assim, para todo n > N, tanto se n for par quanto se for ímpar, teremos |xn - a| < epsilon.

Passo 6

Com isso, mostramos que para todo epsilon > 0, existe um N tal que, para todo n > N, a distância entre xn e a é menor que epsilon. Portanto, pela definição de limite, concluímos que:
lim xn = a

Resposta

Portanto, se lim x2n=a e lim x2n-1=a, então lim xn=a.

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