Se
e
então
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência
e sabemos que os limites das subsequências formadas pelos termos de índice par,
, e pelos termos de índice ímpar,
, ambos são iguais a
. Precisamos mostrar que o limite da sequência inteira,
, também é
. Para isso, vamos utilizar a definição de limite de uma sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite de uma sequência. Dizemos que
se, para todo número positivo
, existe um número natural
tal que, para todo
, a distância entre
e
é menor que
. Em fórmula:
Passo 3
Sabemos que
. Aplicando a definição de limite, isso significa que, para todo
, existe um número natural
tal que, para todo
, temos:
Passo 4
De forma similar, sabemos que
. Isso implica que, para todo
, existe um número natural
tal que, para todo
, temos:
Passo 5
Agora, para garantir que ambos os casos (índices pares e ímpares) satisfaçam a condição do limite, escolhemos
como o máximo entre
e
:
Assim, para todo
, tanto se
for par quanto se for ímpar, teremos
.
Passo 6
Com isso, mostramos que para todo
, existe um
tal que, para todo
, a distância entre
e
é menor que
. Portanto, pela definição de limite, concluímos que:
Resposta
Portanto, se
e
, então
.