Se e então .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência e sabemos que os limites das subsequências formadas pelos termos de índice par, , e pelos termos de índice ímpar, , ambos são iguais a . Precisamos mostrar que o limite da sequência inteira, , também é . Para isso, vamos utilizar a definição de limite de uma sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite de uma sequência. Dizemos que se, para todo número positivo , existe um número natural tal que, para todo , a distância entre e é menor que . Em fórmula:

Passo 3

Sabemos que . Aplicando a definição de limite, isso significa que, para todo , existe um número natural tal que, para todo , temos:

Passo 4

De forma similar, sabemos que . Isso implica que, para todo , existe um número natural tal que, para todo , temos:

Passo 5

Agora, para garantir que ambos os casos (índices pares e ímpares) satisfaçam a condição do limite, escolhemos como o máximo entre e :
Assim, para todo , tanto se for par quanto se for ímpar, teremos .

Passo 6

Com isso, mostramos que para todo , existe um tal que, para todo , a distância entre e é menor que . Portanto, pela definição de limite, concluímos que:

Resposta

Portanto, se e , então .

Exercícios relacionados

Se e então .
Se e então .
Verifique as seguintes consequências da Proposição 1.21.
Se as sequências e convergem e para todo suficientemente grande então .
Aplique a desigualdade da média aos termos
e conclua que a sequência é crescente.