Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência e sabemos que os limites das subsequências formadas pelos termos de índice par, , e pelos termos de índice ímpar, , ambos são iguais a . Precisamos mostrar que o limite da sequência inteira, , também é . Para isso, vamos utilizar a definição de limite de uma sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite de uma sequência. Dizemos que se, para todo número positivo , existe um número natural tal que, para todo , a distância entre e é menor que . Em fórmula:
Passo 3
Sabemos que . Aplicando a definição de limite, isso significa que, para todo , existe um número natural tal que, para todo , temos:
Passo 4
De forma similar, sabemos que . Isso implica que, para todo , existe um número natural tal que, para todo , temos:
Passo 5
Agora, para garantir que ambos os casos (índices pares e ímpares) satisfaçam a condição do limite, escolhemos como o máximo entre e :
Assim, para todo , tanto se for par quanto se for ímpar, teremos .
Passo 6
Com isso, mostramos que para todo , existe um tal que, para todo , a distância entre e é menor que . Portanto, pela definição de limite, concluímos que: