Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência onde cada termo está entre um número positivo e , com sendo um número natural. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites, especificamente o limite de uma sequência usando raízes. Para resolver, vamos precisar aplicar propriedades de limites e entender como raízes de números crescentes comportam-se quando tende ao infinito.
Passo 2
Vamos começar observando que para todo , temos . Queremos encontrar o limite de quando tende ao infinito. Para isso, podemos usar a propriedade de que se uma sequência está limitada entre duas outras sequências que têm o mesmo limite, então ela também terá esse limite.
Passo 3
Vamos calcular os limites inferiores e superiores das sequências que limitam .
Primeiro, para o limite inferior:
Sabemos que e que , porque qualquer número positivo elevado a uma potência que tende a zero resulta em 1.
Passo 4
Agora, para o limite superior:
Aqui, temos que tende a 0 quando cresce sem limites, então:
Portanto, o limite superior também é 1.
Passo 5
Como para todo , temos que:
E sabemos que ambos os limites, inferior e superior, são 1 quando tende ao infinito.
Passo 6
Pelo teorema do sanduíche (ou teorema da aproximação), se uma sequência está “espremida” entre duas sequências que têm o mesmo limite, então essa sequência também tem esse limite. Portanto: