Sejam k in N e a>0. Se a <= xn <= n^k para todo n então lim raiz[n]xn=1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência onde cada termo está entre um número positivo e , com sendo um número natural. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites, especificamente o limite de uma sequência usando raízes. Para resolver, vamos precisar aplicar propriedades de limites e entender como raízes de números crescentes comportam-se quando tende ao infinito.

Passo 2

Vamos começar observando que para todo , temos . Queremos encontrar o limite de quando tende ao infinito. Para isso, podemos usar a propriedade de que se uma sequência está limitada entre duas outras sequências que têm o mesmo limite, então ela também terá esse limite.

Passo 3

Vamos calcular os limites inferiores e superiores das sequências que limitam raiz[n]a = a^1/n .
Primeiro, para o limite inferior:
Sabemos que e que , porque qualquer número positivo elevado a uma potência que tende a zero resulta em 1.

Passo 4

Agora, para o limite superior:
raiz[n]n^k = (n^k)^1/n = n^k/n
Aqui, temos limn to infty n^k/n = limn to infty e^(k/n) ln n = e^0 = 1 que tende a 0 quando cresce sem limites, então:
Portanto, o limite superior também é 1.

Passo 5

Como a^1/n <= raiz[n]xn <= n^k/n para todo , temos que:
E sabemos que ambos os limites, inferior e superior, são 1 quando tende ao infinito.

Passo 6

Pelo teorema do sanduíche (ou teorema da aproximação), se uma sequência está “espremida” entre duas sequências que têm o mesmo limite, então essa sequência também tem esse limite. Portanto:
limn to infty raiz[n]xn = 1

Resposta

O limite de quando tende ao infinito é 1.

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