Sejam
e
. Se
para todo
então
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência
onde cada termo
está entre um número positivo
e
, com
sendo um número natural. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites, especificamente o limite de uma sequência usando raízes. Para resolver, vamos precisar aplicar propriedades de limites e entender como raízes de números crescentes comportam-se quando
tende ao infinito.
Passo 2
Vamos começar observando que para todo
, temos
. Queremos encontrar o limite de
quando
tende ao infinito. Para isso, podemos usar a propriedade de que se uma sequência está limitada entre duas outras sequências que têm o mesmo limite, então ela também terá esse limite.
Passo 3
Vamos calcular os limites inferiores e superiores das sequências que limitam
.
Primeiro, para o limite inferior:
Sabemos que
e que
, porque qualquer número positivo elevado a uma potência que tende a zero resulta em 1.
Passo 4
Agora, para o limite superior:
Aqui, temos
que tende a 0 quando
cresce sem limites, então:
Portanto, o limite superior também é 1.
Passo 5
Como
para todo
, temos que:
E sabemos que ambos os limites, inferior e superior, são 1 quando
tende ao infinito.
Passo 6
Pelo teorema do sanduíche (ou teorema da aproximação), se uma sequência está “espremida” entre duas sequências que têm o mesmo limite, então essa sequência também tem esse limite. Portanto:
Resposta
O limite de
quando
tende ao infinito é 1.