Sejam e . Se para todo então .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência onde cada termo está entre um número positivo e , com sendo um número natural. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites, especificamente o limite de uma sequência usando raízes. Para resolver, vamos precisar aplicar propriedades de limites e entender como raízes de números crescentes comportam-se quando tende ao infinito.

Passo 2

Vamos começar observando que para todo , temos . Queremos encontrar o limite de quando tende ao infinito. Para isso, podemos usar a propriedade de que se uma sequência está limitada entre duas outras sequências que têm o mesmo limite, então ela também terá esse limite.

Passo 3

Vamos calcular os limites inferiores e superiores das sequências que limitam .
Primeiro, para o limite inferior:
Sabemos que e que , porque qualquer número positivo elevado a uma potência que tende a zero resulta em 1.

Passo 4

Agora, para o limite superior:
Aqui, temos que tende a 0 quando cresce sem limites, então:
Portanto, o limite superior também é 1.

Passo 5

Como para todo , temos que:
E sabemos que ambos os limites, inferior e superior, são 1 quando tende ao infinito.

Passo 6

Pelo teorema do sanduíche (ou teorema da aproximação), se uma sequência está “espremida” entre duas sequências que têm o mesmo limite, então essa sequência também tem esse limite. Portanto:

Resposta

O limite de quando tende ao infinito é 1.

Exercícios relacionados

Aplique a desigualdade da média aos termos
e conclua que a sequência é crescente.
Verifique as seguintes consequências da Proposição 1.21.
Se as sequências e convergem e para todo suficientemente grande então .
Seja uma funçã̃o positiva crescente definida para . Usando considerações geométricas, mostre que
Tome e deduza as desigualdades
Deduza que
e conclua que
Ou seja, . (Vale também a fórmula de Stirling: .)
Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
;