Seja uma funçã̃o positiva crescente definida para . Usando considerações geométricas, mostre que
Tome e deduza as desigualdades
Deduza que
e conclua que
Ou seja, . (Vale também a fórmula de Stirling: .)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente usar funções crescentes e integrais para mostrar algumas desigualdades envolvendo somas e integrais. Depois, vamos aplicar isso para a função e deduzir algumas desigualdades sobre o fatorial de , . No final, a gente vai encontrar um limite que relaciona com e a constante . Para isso, vamos precisar entender propriedades de funções crescentes, somas, integrais e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre somas e integrais para funções crescentes. Se é uma função positiva e crescente no intervalo , então para cada de 1 a , temos que . Isso porque a área sob a curva de de a está entre o valor de e .
Passo 3
Somando essas desigualdades para todos os de 1 a , obtemos:
Isso estabelece que a soma dos valores de nos pontos inteiros é uma estimativa para a integral de de 1 a .
Passo 4
Agora, vamos aplicar isso à função específica . Sabemos que é uma função crescente para e positiva nessa região. Então, podemos escrever:
Passo 5
Vamos calcular a integral . Usando integração por partes, temos:
Então,
Mas como , simplifica para:
Passo 6
Substituindo a integral nas desigualdades anteriores, temos:
Agora, vamos lembrar que . Portanto, podemos reescrever as somas:
Passo 7
Exponenciando todos os lados para eliminar o logaritmo, obtemos:
Simplificando e , temos:
Rearranjando:
Mas observando as desigualdades iniciais, ajustamos para:
Passo 8
Agora, vamos dividir todos os lados por :
Simplificando:
Passo 9
Para deduzir as próximas desigualdades, dividimos tudo por e tomamos a raiz -ésima:
E de maneira similar:
Passo 10
Finalmente, para encontrar o limite, observamos que e tendem a 1 quando cresce. Portanto:
Isso mostra que é aproximadamente para valores grandes de , o que também está de acordo com a fórmula de Stirling: .