Seja
uma funçã̃o positiva crescente definida para
. Usando considerações geométricas, mostre que
Tome
e deduza as desigualdades
Deduza que
e conclua que
Ou seja,
. (Vale também a fórmula de Stirling:
.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente usar funções crescentes e integrais para mostrar algumas desigualdades envolvendo somas e integrais. Depois, vamos aplicar isso para a função
e deduzir algumas desigualdades sobre o fatorial de
,
. No final, a gente vai encontrar um limite que relaciona
com
e a constante
. Para isso, vamos precisar entender propriedades de funções crescentes, somas, integrais e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre somas e integrais para funções crescentes. Se
é uma função positiva e crescente no intervalo
, então para cada
de 1 a
, temos que
. Isso porque a área sob a curva de
de
a
está entre o valor de
e
.
Passo 3
Somando essas desigualdades para todos os
de 1 a
, obtemos:
Isso estabelece que a soma dos valores de
nos pontos inteiros é uma estimativa para a integral de
de 1 a
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar isso à função específica
. Sabemos que
é uma função crescente para
e positiva nessa região. Então, podemos escrever:
Passo 5
Vamos calcular a integral
. Usando integração por partes, temos:
Então,
Mas como
, simplifica para:
Passo 6
Substituindo a integral nas desigualdades anteriores, temos:
Agora, vamos lembrar que
. Portanto, podemos reescrever as somas:
Passo 7
Exponenciando todos os lados para eliminar o logaritmo, obtemos:
Simplificando
e
, temos:
Rearranjando:
Mas observando as desigualdades iniciais, ajustamos para:
Passo 8
Agora, vamos dividir todos os lados por
:
Simplificando:
Passo 9
Para deduzir as próximas desigualdades, dividimos tudo por
e tomamos a raiz
-ésima:
E de maneira similar:
Passo 10
Finalmente, para encontrar o limite, observamos que
e
tendem a 1 quando
cresce. Portanto:
Isso mostra que
é aproximadamente
para valores grandes de
, o que também está de acordo com a fórmula de Stirling:
.
Resposta
Ou seja,
.