Seja f uma funçã̃o positiva crescente definida para x >= 1. Usando considerações geométricas, mostre que
sumk=1^n-1 f(k) <= integral1^n f(x) d x <= sumk=2^n f(k)
Tome f(x)=ln x e deduza as desigualdades
e n^n e^-n
Deduza que
e^1 / ne<(n!)^1 / nn
e conclua que
lim n infty (n!)^1 / nn=1e
Ou seja, (n!)^1 / n sim n / e. (Vale também a fórmula de Stirling: n!sim(n / e)^n raiz2 pi n.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente usar funções crescentes e integrais para mostrar algumas desigualdades envolvendo somas e integrais. Depois, vamos aplicar isso para a função e deduzir algumas desigualdades sobre o fatorial de , . No final, a gente vai encontrar um limite que relaciona com e a constante . Para isso, vamos precisar entender propriedades de funções crescentes, somas, integrais e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre somas e integrais para funções crescentes. Se é uma função positiva e crescente no intervalo , então para cada de 1 a , temos que . Isso porque a área sob a curva de de a está entre o valor de e .

Passo 3

Somando essas desigualdades para todos os sumk=1^n-1 f(k) <= integral1^n f(x) , dx <= sumk=2^n f(k) de 1 a , obtemos:
Isso estabelece que a soma dos valores de nos pontos inteiros é uma estimativa para a integral de de 1 a .

Passo 4

Agora, vamos aplicar isso à função específica sumk=1^n-1 ln k <= integral1^n ln x , dx <= sumk=2^n ln k . Sabemos que é uma função crescente para e positiva nessa região. Então, podemos escrever:

Passo 5

Vamos calcular a integral integral ln x , dx = x ln x - x + C . Usando integração por partes, temos:
integral1^n ln x , dx = n ln n - n - (1 cdot ln 1 - 1) = n ln n - n + 1
Então,
integral1^n ln x , dx = n ln n - n + 1
Mas como , simplifica para:

Passo 6

Substituindo a integral nas desigualdades anteriores, temos:
sumk=1^n-1 ln k <= n ln n - n + 1 <= sumk=2^n ln k
Agora, vamos lembrar que ln((n-1)!) <= n ln n - n + 1 <= ln(n!) . Portanto, podemos reescrever as somas:

Passo 7

Exponenciando todos os lados para eliminar o logaritmo, obtemos:
(n-1)! <= e^n ln n - n + 1 <= n!
Simplificando (n-1)! <= e cdot n^n cdot e^-n <= n! e e^-n cdot n^n cdot e >= n! >= e^-n cdot n^n , temos:
e cdot n^n cdot e^-n < n! < e cdot n^n+1 cdot e^-n
Rearranjando:
Mas observando as desigualdades iniciais, ajustamos para:

Passo 8

Agora, vamos dividir todos os lados por e < n!n^n cdot e^-n < e cdot n :
e cdot n^n cdot e^-n < n! < e cdot n^n+1 cdot e^-n
Simplificando:

Passo 9

Para deduzir as próximas desigualdades, dividimos tudo por (n!)^1/nn < e^1/n cdot n^1/ne e tomamos a raiz e^1/ne < (n!)^1/nn -ésima:
E de maneira similar:

Passo 10

Finalmente, para encontrar o limite, observamos que limn to infty (n!)^1/nn = 1e e tendem a 1 quando cresce. Portanto:
Isso mostra que é aproximadamente para valores grandes de , o que também está de acordo com a fórmula de Stirling: .

Resposta

limn infty (n!)^1 / nn = 1e
Ou seja, .

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