Seja uma funçã̃o positiva crescente definida para . Usando considerações geométricas, mostre que
Tome e deduza as desigualdades
Deduza que
e conclua que
Ou seja, . (Vale também a fórmula de Stirling: .)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente usar funções crescentes e integrais para mostrar algumas desigualdades envolvendo somas e integrais. Depois, vamos aplicar isso para a função e deduzir algumas desigualdades sobre o fatorial de , . No final, a gente vai encontrar um limite que relaciona com e a constante . Para isso, vamos precisar entender propriedades de funções crescentes, somas, integrais e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre somas e integrais para funções crescentes. Se é uma função positiva e crescente no intervalo , então para cada de 1 a , temos que . Isso porque a área sob a curva de de a está entre o valor de e .

Passo 3

Somando essas desigualdades para todos os de 1 a , obtemos:
Isso estabelece que a soma dos valores de nos pontos inteiros é uma estimativa para a integral de de 1 a .

Passo 4

Agora, vamos aplicar isso à função específica . Sabemos que é uma função crescente para e positiva nessa região. Então, podemos escrever:

Passo 5

Vamos calcular a integral . Usando integração por partes, temos:
Então,
Mas como , simplifica para:

Passo 6

Substituindo a integral nas desigualdades anteriores, temos:
Agora, vamos lembrar que . Portanto, podemos reescrever as somas:

Passo 7

Exponenciando todos os lados para eliminar o logaritmo, obtemos:
Simplificando e , temos:
Rearranjando:
Mas observando as desigualdades iniciais, ajustamos para:

Passo 8

Agora, vamos dividir todos os lados por :
Simplificando:

Passo 9

Para deduzir as próximas desigualdades, dividimos tudo por e tomamos a raiz -ésima:
E de maneira similar:

Passo 10

Finalmente, para encontrar o limite, observamos que e tendem a 1 quando cresce. Portanto:
Isso mostra que é aproximadamente para valores grandes de , o que também está de acordo com a fórmula de Stirling: .

Resposta

Ou seja, .

Exercícios relacionados

Sejam e . Se para todo então .
Aplique a desigualdade da média aos termos
e conclua que a sequência é crescente.
Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
;
Seja uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se então . (Mostre que, para algum e alguma constante para todo suficientemente grande.)