Verifique as seguintes consequências da Proposição 1.21.
Se as sequências e convergem e para todo suficientemente grande então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para verificar uma consequência da Proposição 1.21. Isso está relacionado ao estudo de sequências que convergem, ou seja, que têm um limite definido. Especificamente, vamos precisar saber sobre limites de sequências e como as desigualdades entre termos afetam os limites dessas sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir. Uma sequência converge se há um número tal que, conforme cresce, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de . Ou seja, .

Passo 3

Agora, a proposição que estamos verificando diz que se duas sequências e convergem, e se para todo suficientemente grande, então o limite de é menor ou igual ao limite de . Formalmente, .

Passo 4

Vamos usar uma propriedade dos limites que afirma que se para todos os a partir de algum ponto, então os limites também respeitam essa desigualdade. Isso acontece porque, conforme cresce, e se aproximam dos seus respectivos limites, mantendo a relação de desigualdade.

Passo 5

Para provar isso, consideremos que e . Como para (algum grande), ao tirar os limites de ambos os lados dessa desigualdade, obtemos , ou seja, .

Resposta

Assim, verificamos que se as sequências e convergem e para todo suficientemente grande, então .

Exercícios relacionados

Se e então .
Se e então .
Aplique a desigualdade da média aos termos
e conclua que a sequência é crescente.
Sejam e . Se para todo então .