Aplique fasores para calcular as seguintes expressões:
(a) v(t)=110 sin (20 t+30^circ)+220 cos (20 t-90^circ) V

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para aplicarmos fasores para calcular a expressão:
v(t) = 110 sin (20 t +30^circ) + 220 cos (20 t -90^circ) , V
Fasores são uma maneira de representar sinais senoidais no domínio da frequência, facilitando operações como soma e multiplicação. Para resolver esse exercício, vamos precisar converter todas as funções de tempo em fasores, somá-los e depois converter de volta para o domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que ambas as funções estejam na mesma forma, preferencialmente em termos de seno. Temos:
v(t) = 110 sin (20 t +30^circ) + 220 cos (20 t -90^circ)
Sabemos que:
cos(theta) = sin(theta + 90^circ)
Então, vamos converter o segundo termo de cosseno para seno:
220 cos (20 t -90^circ) = 220 sin (20 t -90^circ + 90^circ) = 220 sin (20 t )
Agora, a expressão fica:
v(t) = 110 sin (20 t +30^circ) + 220 sin (20 t )

Passo 3

Agora, vamos representar cada termo como um fasor. Um fasor é uma representação complexa de uma função senoidal, dada por:
V = Vm ang<= phi
Onde:
  • é a amplitude.
  • é a fase.
Para nossos termos:
  1. Primeiro termo:
    • Fasor:
  2. Segundo termo:
    • Fasor:

Passo 4

Vamos somar os dois fasores. Para isso, é mais fácil converter os fasores para a forma retangular (parte real e imaginária), somá-los e depois converter de volta para a forma polar.
Conversão para forma retangular:
  1. Fasor 1:
    • Parte real:
    • Parte imaginária:
    • Forma retangular:
  2. Fasor 2:
    • Parte real:
    • Parte imaginária:
    • Forma retangular:

Passo 5

Agora, somamos os fasores na forma retangular:
(95.26 + j55) + (220 + j0) = (95.26 + 220) + j(55 + 0) = 315.26 + j55

Passo 6

Vamos converter a soma de volta para a forma polar para encontrar a amplitude e a fase do fasor resultante.
Amplitude ( Vtotal = raiz(315.26)^2 + (55)^2 approx raiz99,210 + 3,025 = raiz102,235 approx 320 , V ):
phitotal = tan^-1(55315.26) approx tan^-1(0.1745) approx 9.9^circ
Fase ( ):

Passo 7

Agora que temos o fasor resultante, podemos converter de volta para o domínio do tempo usando a forma senoidal:
v(t) = Vtotal sin(20 t + phitotal)
Substituindo os valores encontrados:
v(t) = 320 sin(20 t + 10^circ) , V

Resposta

A soma dos fasores resulta em:
v(t) = 320 sin(20 t +10^circ) , V

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