Duas tensões v1 e v2 em um circuito elétrico aparecem em série, de modo que exista uma tensão vx=v1+v2. Se v1=cos (50 t-p i / 3) Ve v2=12 cos (50 t+30^circ) V, determine vx (observe a diferença das unidades de pi / 3 e 30^circ ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa somar duas tensões que estão em série num circuito elétrico. O enunciado nos dá duas tensões: V e V. Nosso objetivo é encontrar a tensão total . Para isso, vamos lembrar como somar funções cosseno com frequências e fases diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que as fases das duas tensões estejam na mesma unidade. Observamos que 30^circ = 30 times pi180 = pi6 radianos está em radianos ( ) e está em graus ( ). Vamos converter para radianos para facilitar a soma.
Sabemos que radianos, então:

Passo 3

Agora, reescrevemos as duas tensões com a mesma unidade para a fase:
v1 = cos(50t - pi3) V
v2 = 12 cos(50t + pi6) V

Passo 4

Para somar A cos(omega t + phi) + B cos(omega t + theta) = C cos(omega t + de e , usamos a fórmula para a soma de cossenos com a mesma frequência:
Onde:

Passo 5

Identificamos os valores:
  • C = raiz1^2 + 12^2 + 2 times 1 times 12 times cos(-pi3 - pi6) = raiz1 + 144 + 24 cos(-pi2) , C = raiz145 + 0 = raiz145
  • ,
Agora, calculamos :
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, calculamos de:
sin(-pi3) = -raiz32, cos(-pi3) = 12
Calculando os senos e cossenos:
sin(pi6) = 12, cos(pi6) = raiz32
de
Substituindo:
de
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, podemos escrever a tensão total vx = raiz145 cos(50t + de:
Onde é o ângulo calculado anteriormente.

Resposta

A tensão total é:
vx = raiz145 cos(50t + arctan( 6 - raiz3212 + 6raiz3 )) V

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