Se é a lagrangiana para um sistema de graus de liberdade que satisfaz as equações de Lagrange, mostre que uma substituição direta
também satifaz as equações de Lagrange onde é qualquer arbitrária, porém diferenciável, função dos seus argumentos. Esse resultado nos mostra que a Lagrangiana para um dado sistema não é única.

Passo 1

Então, temos um sistema com graus de liberdade descrito pela lagrangiana . Queremos mostrar que, se acrescentarmos à a derivada total de uma função arbitrária , ou seja, , a nova lagrangiana também satisfaz as equações de Lagrange. Vamos precisar entender as equações de Lagrange e como as derivadas funcionam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, lembremos as equações de Lagrange. Para cada coordenada generalizada , temos:
Essas equações descrevem o movimento do sistema.

Passo 3

Agora, vamos considerar a nova lagrangiana . Precisamos ver como isso afeta as equações de Lagrange. Calculamos as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 4

Primeiro, calculemos :
Como depende de e , temos:
Portanto:
Então:

Passo 5

Agora, calculemos a derivada temporal de :
Expandindo a última derivada:

Passo 6

Agora, calculemos :
Novamente, usando a expressão da derivada total:

Passo 7

Substituindo tudo na equação de Lagrange para :
Observamos que os termos com se cancelam:
Que são exatamente as equações de Lagrange para .

Resposta

Portanto, a nova lagrangiana também satisfaz as equações de Lagrange, mostrando que a lagrangiana de um sistema não é única.

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