Se L é a lagrangiana para um sistema de n graus de liberdade que satisfaz as equações de Lagrange, mostre que uma substituição direta
L^prime=L+d F(q1, ldots, qn, t)d t
também satifaz as equações de Lagrange onde F é qualquer arbitrária, porém diferenciável, função dos seus argumentos. Esse resultado nos mostra que a Lagrangiana para um dado sistema não é única.

Passo 1

Então, temos um sistema com n graus de liberdade descrito pela lagrangiana L. Queremos mostrar que, se acrescentarmos à L a derivada total de uma função arbitrária F(q1, ldots, qn, t), ou seja, L' = L + dFdt, a nova lagrangiana L' também satisfaz as equações de Lagrange. Vamos precisar entender as equações de Lagrange e como as derivadas funcionam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, lembremos as equações de Lagrange. Para cada coordenada generalizada qi, temos:
ddt(partial Lpartial dotqi) - partial Lpartial qi = 0
Essas equações descrevem o movimento do sistema.

Passo 3

Agora, vamos considerar a nova lagrangiana L' = L + dFdt. Precisamos ver como isso afeta as equações de Lagrange. Calculamos as derivadas parciais de L' em relação a dotqi e qi.

Passo 4

Primeiro, calculemos partial L'partial dotqi:
partial L'partial dotqi = partial Lpartial dotqi + partialpartial dotqi(dFdt)
Como F depende de qj e t, temos:
dFdt = sumj=1^n partial Fpartial qj dotqj + partial Fpartial t
Portanto:
partialpartial dotqi(dFdt) = partial Fpartial qi
Então:
partial L'partial dotqi = partial Lpartial dotqi + partial Fpartial qi

Passo 5

Agora, calculemos a derivada temporal de partial L'partial dotqi:
ddt(partial L'partial dotqi) = ddt(partial Lpartial dotqi) + ddt(partial Fpartial qi)
Expandindo a última derivada:
ddt(partial Fpartial qi) = sumj=1^n partial^2 Fpartial qi partial qj dotqj + partial^2 Fpartial qi partial t

Passo 6

Agora, calculemos partial L'partial qi:
partial L'partial qi = partial Lpartial qi + partialpartial qi(dFdt)
Novamente, usando a expressão da derivada total:
partialpartial qi(dFdt) = sumj=1^n partial^2 Fpartial qi partial qj dotqj + partial^2 Fpartial qi partial t

Passo 7

Substituindo tudo na equação de Lagrange para L':
ddt(partial L'partial dotqi) - partial L'partial qi = (ddt(partial Lpartial dotqi) + sumj=1^n partial^2 Fpartial qi partial qj dotqj + partial^2 Fpartial qi partial t) - (partial Lpartial qi + sumj=1^n partial^2 Fpartial qi partial qj dotqj + partial^2 Fpartial qi partial t)
Observamos que os termos com F se cancelam:
ddt(partial Lpartial dotqi) - partial Lpartial qi = 0
Que são exatamente as equações de Lagrange para L.

Resposta

Portanto, a nova lagrangiana L' = L + dFdt também satisfaz as equações de Lagrange, mostrando que a lagrangiana de um sistema não é única.

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