Se
é a lagrangiana para um sistema de
graus de liberdade que satisfaz as equações de Lagrange, mostre que uma substituição direta
também satifaz as equações de Lagrange onde
é qualquer arbitrária, porém diferenciável, função dos seus argumentos. Esse resultado nos mostra que a Lagrangiana para um dado sistema não é única.
Passo 1
Então, temos um sistema com
graus de liberdade descrito pela lagrangiana
. Queremos mostrar que, se acrescentarmos à
a derivada total de uma função arbitrária
, ou seja,
, a nova lagrangiana
também satisfaz as equações de Lagrange. Vamos precisar entender as equações de Lagrange e como as derivadas funcionam nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, lembremos as equações de Lagrange. Para cada coordenada generalizada
, temos:
Essas equações descrevem o movimento do sistema.
Passo 3
Agora, vamos considerar a nova lagrangiana
. Precisamos ver como isso afeta as equações de Lagrange. Calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 4
Primeiro, calculemos
:
Como
depende de
e
, temos:
Portanto:
Então:
Passo 5
Agora, calculemos a derivada temporal de
:
Expandindo a última derivada:
Passo 6
Agora, calculemos
:
Novamente, usando a expressão da derivada total:
Passo 7
Substituindo tudo na equação de Lagrange para
:
Observamos que os termos com
se cancelam:
Que são exatamente as equações de Lagrange para
.
Resposta
Portanto, a nova lagrangiana
também satisfaz as equações de Lagrange, mostrando que a lagrangiana de um sistema não é única.