Aplique o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular e, depois, a solução geral da equação:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial do tipo . O conteúdo que vamos usar aqui é o método dos coeficientes a determinar, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Precisamos encontrar uma solução específica para essa equação e depois combinar com a solução geral da equação homogênea associada.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são e .

Passo 3

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método dos coeficientes a determinar. Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:
onde , e são coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos , e na equação original:
Expandindo os termos:

Passo 6

Vamos reorganizar os termos por grau de :
Agora, igualamos os coeficientes correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Para :
  1. Para :
Substituindo :
  1. Para o termo constante:
Substituindo e :

Passo 7

Com os valores de , e encontrados, a solução particular é:

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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