Aplique o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular e, depois, a solução geral da equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial do tipo
. O conteúdo que vamos usar aqui é o método dos coeficientes a determinar, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Precisamos encontrar uma solução específica para essa equação e depois combinar com a solução geral da equação homogênea associada.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são
e
.
Passo 3
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
usando o método dos coeficientes a determinar. Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:
onde
,
e
são coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Expandindo os termos:
Passo 6
Vamos reorganizar os termos por grau de
:
Agora, igualamos os coeficientes correspondentes dos dois lados da equação:
- Para
:
- Para
:
Substituindo
:
- Para o termo constante:
Substituindo
e
:
Passo 7
Com os valores de
,
e
encontrados, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea
com a solução particular
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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