Aplique o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular e, depois, a solução geral da equação:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para usarmos o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular e depois a solução geral da equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea. Vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares e o método dos coeficientes a determinar para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver isso, vamos encontrar as raízes da equação característica:
Resolvendo a equação quadrática, encontramos:
Então, as raízes são e . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea:
Observamos que o lado direito possui dois termos: um polinomial ( ) e um termo exponencial multiplicado por um polinômio ( ). Vamos encontrar soluções particulares para cada um separadamente e depois somá-las.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar a solução particular para o termo polinomial .
Assumimos uma solução na forma de um polinômio de primeiro grau:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para :
Para os termos constantes:
Substituindo :
Então, a solução particular para este termo é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular para o termo .
Assumimos uma solução na forma de um polinômio multiplicado por :
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Agora, igualamos os coeficientes:
Para :
Para os termos constantes:
Então, a solução particular para este termo é:

Passo 6

Agora, somamos as soluções particulares encontradas:

Passo 7

Por fim, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Aplique o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular e, depois, a solução geral da equação:
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Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
(b) .