Aplique o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular e, depois, a solução geral da equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para usarmos o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular e depois a solução geral da equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea. Vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares e o método dos coeficientes a determinar para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver isso, vamos encontrar as raízes da equação característica:
Resolvendo a equação quadrática, encontramos:
Então, as raízes são
e
. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Observamos que o lado direito possui dois termos: um polinomial (
) e um termo exponencial multiplicado por um polinômio (
). Vamos encontrar soluções particulares para cada um separadamente e depois somá-las.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar a solução particular para o termo polinomial
.
Assumimos uma solução na forma de um polinômio de primeiro grau:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para
:
Para os termos constantes:
Substituindo
:
Então, a solução particular para este termo é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular para o termo
.
Assumimos uma solução na forma de um polinômio multiplicado por
:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Agora, igualamos os coeficientes:
Para
:
Para os termos constantes:
Então, a solução particular para este termo é:
Passo 6
Agora, somamos as soluções particulares encontradas:
Passo 7
Por fim, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
(b) .
(b)