Aplique o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular e, depois, a solução geral da equação:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente vai usar o método dos coeficientes a determinar para achar uma solução particular e, depois, a solução geral da equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações homogêneas e não homogêneas, além de como aplicar o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando a parte direita da equação (o lado que não tem o ) é igual a zero:
Para resolver essa equação homogênea, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Agora, substituímos essas expressões na equação homogênea:
Podemos fatorar :
Como nunca é zero, temos que:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, temos raízes complexas:

Passo 5

Com raízes complexas da forma , a solução geral da equação homogênea é:
Substituindo e :

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea:
Usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o lado direito é , assumimos uma solução particular da forma:
Onde e são coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 7

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 8

Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Isso dá:

Passo 9

Agora, igualamos os coeficientes das funções e :
Temos um sistema de equações para resolver:

Passo 10

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, encontramos :

Passo 11

Então, a solução particular é:

Passo 12

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Aplique o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular e, depois, a solução geral da equação:
Resolva a inequação
Aplique o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular e, depois, a solução geral da equação:
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