Aplique o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular e, depois, a solução geral da equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente vai usar o método dos coeficientes a determinar para achar uma solução particular e, depois, a solução geral da equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações homogêneas e não homogêneas, além de como aplicar o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando a parte direita da equação (o lado que não tem o
) é igual a zero:
Para resolver essa equação homogênea, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Agora, substituímos essas expressões na equação homogênea:
Podemos fatorar
:
Como
nunca é zero, temos que:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, temos raízes complexas:
Passo 5
Com raízes complexas da forma
, a solução geral da equação homogênea é:
Substituindo
e
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o lado direito é
, assumimos uma solução particular da forma:
Onde
e
são coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 7
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 8
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Isso dá:
Passo 9
Agora, igualamos os coeficientes das funções
e
:
Temos um sistema de equações para resolver:
Passo 10
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Agora, encontramos
:
Passo 11
Então, a solução particular é:
Passo 12
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Aplique o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular e, depois, a solução geral da equação:
Resolva a inequação
Aplique o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular e, depois, a solução geral da equação:
Aplique o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular e, depois, a solução geral da equação: