Resolva a inequação
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação
. Esse exercício pertence à matéria de álgebra, mais especificamente ao estudo de inequações racionais. Para resolver, vamos precisar manipular frações algébricas e entender como resolver desigualdades envolvendo expressões racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar todos os termos de um lado da inequação para facilitar a comparação com zero. Subtraímos 3 de ambos os lados:
Passo 3
Agora, precisamos combinar os termos em uma única fração. Para isso, vamos colocar 3 sobre o mesmo denominador que a fração inicial:
Passo 4
Simplificamos a expressão combinando os numeradores:
Distribuindo o 3 dentro do parêntese:
Passo 5
Agora, somamos os termos semelhantes no numerador:
Passo 6
Rearranjamos a inequação para ter um denominador positivo, multiplicando numerador e denominador por -1 (lembre-se de que ao multiplicar ou dividir por um número negativo, a desigualdade inverte o sinal):
Passo 7
Agora, identificamos os valores críticos onde a expressão pode mudar de sinal, ou seja, onde o numerador ou denominador são iguais a zero:
Passo 8
Dividimos a reta numérica com esses pontos críticos e analisamos os intervalos:
Passo 9
Escolhemos um valor de teste em cada intervalo para determinar onde a inequação é verdadeira:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Parece que todos os intervalos testados não satisfazem a inequação. No entanto, percebemos que ao rearranjar a inequação, poderíamos ter cometido um erro na direção da desigualdade. Vamos verificar novamente.
Passo 10
Retornando à expressão original simplificada:
Podemos reescrever o denominador:
Portanto:
Passo 11
Agora, identificamos novamente os valores críticos e analisamos os intervalos:
Testamos os intervalos com a expressão ajustada:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Parece que não há soluções que satisfaçam a inequação.
Resposta
Não existem valores de
que satisfazem a inequação
. A solução é o conjunto vazio.
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