Aplique o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular e, depois, a solução geral da equação:
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial
. Isso envolve encontrar uma solução particular e depois a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares com termos do lado direito que são funções bem conhecidas, como exponenciais, senos, cossenos ou polinômios. Vamos precisar lembrar como encontrar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução que se encaixe no lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar. Ao substituir na equação homogênea, obtemos a equação característica:
Passo 3
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Então, temos duas raízes:
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) da equação completa
. Como o lado direito é
, que já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por
para garantir que ela seja independente da solução homogênea.
Então, assumimos:
onde
é a constante que vamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 8
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Passo 9
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
(b) .
(b)
Encontre a solução de cada PVI
(b)
(b)