Aplique o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular e, depois, a solução geral da equação:

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial . Isso envolve encontrar uma solução particular e depois a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares com termos do lado direito que são funções bem conhecidas, como exponenciais, senos, cossenos ou polinômios. Vamos precisar lembrar como encontrar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução que se encaixe no lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos determinar. Ao substituir na equação homogênea, obtemos a equação característica:

Passo 3

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Então, temos duas raízes:

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) da equação completa . Como o lado direito é , que já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por para garantir que ela seja independente da solução homogênea.
Então, assumimos:
onde é a constante que vamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 7

Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 8

Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:

Passo 9

Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
(b) .
Encontre a solução de cada PVI
(b)