Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
(b) t^2 y'' - (t + 2) t y' + (t + 2) y = 0, t > 0, y1 = t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
E já sabemos que uma solução dessa equação é . Nosso objetivo aqui é encontrar outra solução diferente dessa. Para resolver isso, vamos usar o método de redução de ordem, que é uma técnica para encontrar soluções adicionais de equações diferenciais quando já conhecemos uma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar rapidamente como funciona o método de redução de ordem. Se já sabemos uma solução de uma equação diferencial linear de segunda ordem, podemos procurar uma segunda solução na forma:
Onde é uma função que precisamos descobrir. Nosso trabalho será encontrar essa função .

Passo 3

Vamos assumir que . Agora, precisamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora, substituímos , e na equação original:
Simplificando essa expressão, percebemos que muitos termos se cancelam e acabamos com uma equação para :
Isso se simplifica para:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para . Vamos chamar , então temos:
Essa é uma equação linear que podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando:
Agora, lembrando que , integramos novamente para encontrar :
Como estamos buscando uma solução linearmente independente, podemos escolher , então:

Resposta

Portanto, outra solução distinta da equação dada é:

Exercícios relacionados