Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
E já sabemos que uma solução dessa equação é
. Nosso objetivo aqui é encontrar outra solução diferente dessa. Para resolver isso, vamos usar o método de redução de ordem, que é uma técnica para encontrar soluções adicionais de equações diferenciais quando já conhecemos uma solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar rapidamente como funciona o método de redução de ordem. Se já sabemos uma solução
de uma equação diferencial linear de segunda ordem, podemos procurar uma segunda solução na forma:
Onde
é uma função que precisamos descobrir. Nosso trabalho será encontrar essa função
.
Passo 3
Vamos assumir que
. Agora, precisamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando essa expressão, percebemos que muitos termos se cancelam e acabamos com uma equação para
:
Isso se simplifica para:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para
. Vamos chamar
, então temos:
Essa é uma equação linear que podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando:
Agora, lembrando que
, integramos novamente para encontrar
:
Como estamos buscando uma solução linearmente independente, podemos escolher
, então:
Resposta
Portanto, outra solução distinta da equação dada é: