Encontre a solução de cada PVI
(b) 5 y'' + 2 y' + 7 y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de equações diferenciais ordinárias (EDO) de segunda ordem. A gente tem a seguinte equação:
E as condições iniciais são:
Para resolver isso, vamos usar a teoria das equações características e aplicar as condições iniciais para achar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, a gente monta a equação característica associada à EDO. Para uma equação do tipo:
A equação característica é:
No nosso caso, , e . Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Como o discriminante ( ) é negativo, as raízes serão complexas.

Passo 4

Quando temos raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso:
Então, a solução geral é:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, para :
Então, já sabemos que .
Agora, derivamos para encontrar :
Aplicando :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do PVI é:

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