Encontre a solução de cada PVI
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de equações diferenciais ordinárias (EDO) de segunda ordem. A gente tem a seguinte equação:
E as condições iniciais são:
Para resolver isso, vamos usar a teoria das equações características e aplicar as condições iniciais para achar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, a gente monta a equação característica associada à EDO. Para uma equação do tipo:
A equação característica é:
No nosso caso,
,
e
. Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Como o discriminante (
) é negativo, as raízes serão complexas.
Passo 4
Quando temos raízes complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso:
Então, a solução geral é:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, para
:
Então, já sabemos que
.
Agora, derivamos
para encontrar
:
Aplicando
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
(b) .
(b)
Aplique o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular e, depois, a solução geral da equação:
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto
. Justifique.
.
Encontre todos os valores de
que satisfazem a equação dada.