Aplique a variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a variação de parâmetros. O enunciado nos dá o sistema:
Aqui, estamos lidando com um sistema linear não homogêneo de equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular usando a variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, precisamos encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz dos coeficientes:
Passo 3
Vamos encontrar os valores próprios
resolvendo o determinante:
Calculando:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os vetores próprios para cada valor de
.
Para
:
Resolvendo
, temos:
Podemos escolher
, então o vetor próprio é:
Para
:
Resolvendo
, temos:
Podemos escolher
, então o vetor próprio é:
Passo 5
Com os valores próprios e vetores próprios encontrados, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para o sistema não homogêneo usando a variação de parâmetros. A ideia é supor que as constantes
e
sejam fun�es de
.
Então, consideramos:
Passo 7
Derivamos
:
Passo 8
Para simplificar, impomos a condição:
Isso nos dá um sistema de equações para
e
:
Passo 9
Resolvendo o sistema, temos:
Multiplicando a segunda equação por
e somando com a primeira:
Integrando:
Como estamos procurando uma solução particular, podemos tomar
:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Integrando:
Novamente, tomamos
para a solução particular:
Passo 10
Agora, substituímos
e
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 11
Finalmente, somamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral do sistema:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Determine o momento de inércia dos seguintes sólidos:
(7.3) limitado pela esferas , pelo plano
e pelos cones
e
, com densidade
, em relação ao eixo
(7.3) limitado pela esferas
Aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema
em
em
Escreva a forma quadrática
associada à matriz simétrica
e classifique-a (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida):
(9.3)
(9.3)
Use o teste da integral para determinar se a série
converge ou diverge. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.