Determine o momento de inércia dos seguintes sólidos:
(7.3) limitado pela esferas
, pelo plano
e pelos cones
e
, com densidade
, em relação ao eixo
(7.3) limitado pela esferas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o momento de inércia de um sólido. Aqui, estamos trabalhando com geometria sólida envolvendo esferas, planos e cones, e a densidade do sólido é dada por uma função. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo de integrais em coordenadas esféricas ou cilíndricas, além de aplicar a fórmula do momento de inércia em relação ao eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido. Ele é limitado por uma esfera de raio 3 (
), pelo plano
, e por dois cones:
e
. A densidade é dada por
.
Passo 3
Para calcular o momento de inércia em relação ao eixo
, usamos a fórmula:
Aqui,
é o volume do sólido.
Passo 4
Vamos simplificar o problema usando coordenadas cilíndricas, onde
,
, e
. Nessa coordenada,
e o volume elementar é
.
Passo 5
Substituindo na fórmula do momento de inércia:
Isso simplifica a integral, pois os
se cancelam.
Passo 6
Agora, precisamos determinar os limites de integração. O sólido é limitado pela esfera
, pelo plano
, e pelos cones
e
.
Para
, o intervalo vai de
até
, mas como
também é um limite superior, precisamos determinar onde esses limites se interceptam.
Passo 7
Encontramos onde os cones intersectam o plano
:
Para
,
→
Para
,
→
No entanto, a esfera impõe
. Para
,
. Portanto, o limite para
é de 0 a 2.
Passo 8
Assim, os limites de integração são:
-
de 0 a 2 -
de 0 a -
de a
Mas como
vai até 2 e
para
é
, que é maior que 2, então para
,
vai de
a
.
Passo 9
Agora, montamos a integral:
Passo 10
Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 11
Substituindo de volta na integral:
Passo 12
Integrando em relação a
:
Passo 13
Substituindo de volta:
Resposta
O momento de inércia do sólido em relação ao eixo
é
.
Exercícios relacionados
Aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema
em
em
Escreva os primeiros termos da série
para encontrar
e
. Calcule a soma da série e expresse a desigualdade
em termos de
, encontrando os valores de
para os quais a desigualdade é válida e a série converge.
Aplique a variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
Escreva a forma quadrática
associada à matriz simétrica
e classifique-a (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida):
(9.3)
(9.3)