Determine o momento de inércia dos seguintes sólidos:
(7.3) limitado pela esferas x^2 + y^2 + z^2 = 9, pelo plano z = 2 e pelos cones z = raiz(x^2 + y^2) / 3 e z = raiz(x^2 + y^2), com densidade sigma(x, y, z) = z / (x^2 + y^2), em relação ao eixo O z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o momento de inércia de um sólido. Aqui, estamos trabalhando com geometria sólida envolvendo esferas, planos e cones, e a densidade do sólido é dada por uma função. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo de integrais em coordenadas esféricas ou cilíndricas, além de aplicar a fórmula do momento de inércia em relação ao eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido. Ele é limitado por uma esfera de raio 3 ( ), pelo plano , e por dois cones: e . A densidade é dada por .

Passo 3

Para calcular o momento de inércia em relação ao eixo , usamos a fórmula:
Aqui, é o volume do sólido.

Passo 4

Vamos simplificar o problema usando coordenadas cilíndricas, onde , , e . Nessa coordenada, e o volume elementar é .

Passo 5

Substituindo na fórmula do momento de inércia:
Isso simplifica a integral, pois os se cancelam.

Passo 6

Agora, precisamos determinar os limites de integração. O sólido é limitado pela esfera , pelo plano , e pelos cones e .
Para , o intervalo vai de até , mas como também é um limite superior, precisamos determinar onde esses limites se interceptam.

Passo 7

Encontramos onde os cones intersectam o plano :
Para ,
Para ,
No entanto, a esfera impõe . Para , . Portanto, o limite para é de 0 a 2.

Passo 8

Assim, os limites de integração são:
  • de 0 a 2
  • de 0 a
  • de a
Mas como vai até 2 e para é , que é maior que 2, então para , vai de a .

Passo 9

Agora, montamos a integral:

Passo 10

Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :

Passo 11

Substituindo de volta na integral:

Passo 12

Integrando em relação a :

Passo 13

Substituindo de volta:

Resposta

O momento de inércia do sólido em relação ao eixo é .

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