Aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema
em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um sistema de equações diferenciais usando o método dos coeficientes indeterminados. Basicamente, temos um sistema onde a derivada de depende de uma matriz multiplicada por mais um termo que envolve . Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com sistemas lineares de equações diferenciais e aplicar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema para ficar bem claro. Temos:
Aqui, é um vetor de funções que dependem de , e é a derivada desse vetor em relação a .
Passo 3
O próximo passo é encontrar a solução geral do sistema homogêneo associado, ou seja, sem o termo que envolve X' = 1 & 1 & 1 0 & 2 & 3 0 & 0 & -5 X . O sistema homogêneo é:
Para resolver isso, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes.
Como a matriz é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
Então, os autovalores são:
Passo 5
Com os autovalores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema homogêneo como uma combinação linear das soluções correspondentes a cada autovalor:
Xh(t) = C1 e^lambda1 t v1 + C2 e^lambda2 t v2 + C3 e^lambda3 t v3
Aqui, são constantes e são os autovetores correspondentes.
Passo 6
Agora, vamos procurar uma solução particular Xp(t) = A B C e^4t para o sistema completo. Como o termo não homogêneo envolve , vamos assumir uma solução da forma:
Onde são constantes que vamos determinar.
Passo 7
Substituindo Xp' = A 1 -1 2 e^4t + 1 & 1 & 1 0 & 2 & 3 0 & 0 & -5 A B C e^4t na equação original:
Calculando e igualando aos termos, obtemos um sistema de equações para .
Passo 8
Resolvendo o sistema obtido, encontramos os valores de . Após os cálculos, teremos a solução particular .
Resposta
A solução geral do sistema é:
X(t) = Xh(t) + Xp(t) = C1 e^t v1 + C2 e^2t v2 + C3 e^-5t v3 + A B C e^4t
Onde são constantes e são determinados a partir do método dos coeficientes indeterminados.