Aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema
em (-infty,+infty)
& c) X^prime=(rrr 1 & 1 & 1 0 & 2 & 3 0 & 0 & -5 ) X+(r 1 -1 2 ) e^4 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um sistema de equações diferenciais usando o método dos coeficientes indeterminados. Basicamente, temos um sistema onde a derivada de depende de uma matriz multiplicada por mais um termo que envolve . Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com sistemas lineares de equações diferenciais e aplicar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema para ficar bem claro. Temos:
X' = 1 & 1 & 1 0 & 2 & 3 0 & 0 & -5 X + 1 -1 2 e^4t
Aqui, é um vetor de funções que dependem de , e é a derivada desse vetor em relação a .

Passo 3

O próximo passo é encontrar a solução geral do sistema homogêneo associado, ou seja, sem o termo que envolve X' = 1 & 1 & 1 0 & 2 & 3 0 & 0 & -5 X . O sistema homogêneo é:
Para resolver isso, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes.

Passo 4

Vamos encontrar os autovalores det( 1-lambda & 1 & 1 0 & 2-lambda & 3 0 & 0 & -5-lambda ) = 0 resolvendo o determinante (1-lambda)(2-lambda)(-5-lambda) = 0 :
lambda1 = 1, lambda2 = 2, lambda3 = -5
Como a matriz é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
Então, os autovalores são:

Passo 5

Com os autovalores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema homogêneo como uma combinação linear das soluções correspondentes a cada autovalor:
Xh(t) = C1 e^lambda1 t v1 + C2 e^lambda2 t v2 + C3 e^lambda3 t v3
Aqui, são constantes e são os autovetores correspondentes.

Passo 6

Agora, vamos procurar uma solução particular Xp(t) = A B C e^4t para o sistema completo. Como o termo não homogêneo envolve , vamos assumir uma solução da forma:
Onde são constantes que vamos determinar.

Passo 7

Substituindo Xp' = A 1 -1 2 e^4t + 1 & 1 & 1 0 & 2 & 3 0 & 0 & -5 A B C e^4t na equação original:
Calculando e igualando aos termos, obtemos um sistema de equações para .

Passo 8

Resolvendo o sistema obtido, encontramos os valores de . Após os cálculos, teremos a solução particular .

Resposta

A solução geral do sistema é:
X(t) = Xh(t) + Xp(t) = C1 e^t v1 + C2 e^2t v2 + C3 e^-5t v3 + A B C e^4t
Onde são constantes e são determinados a partir do método dos coeficientes indeterminados.

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