Escreva os primeiros termos da série sumn=0^infty(2^n+15^n) para mostrar como a série começa. Então, calcule a soma da série.
Nos Exercícios 15-18, determine se a série geométrica converge ou diverge. Se a série converge, encontre sua soma.
15. 1+(25)+(25)^2+(25)^3+(25)^4+cdots

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série geométrica dada por . Nosso objetivo é determinar se essa série converge ou diverge e, se convergir, encontrar sua soma. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série:
  • Primeiro termo ( ):
  • Segundo termo:
  • Terceiro termo:
  • Quarto termo:
  • E assim por diante.

Passo 3

Em uma série geométrica, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante ( r = 251 = 25 ). Vamos identificar essa razão:

Passo 4

Para determinar se a série converge ou diverge, observamos o valor absoluto da razão |r| = |25| = 25 :
Como , sabemos que a série geométrica converge.

Passo 5

Como a série converge, podemos calcular a soma infinita usando a fórmula da soma da série geométrica:
S = a1 - r
Onde:
  • é a soma da série
  • é o primeiro termo
  • é a razão

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
S = 11 - 25 = 135 = 53

Resposta

A série geométrica converge e sua soma é .

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