Escreva os primeiros termos da série para mostrar como a série começa. Então, calcule a soma da série.
Nos Exercícios 15-18, determine se a série geométrica converge ou diverge. Se a série converge, encontre sua soma.
15.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série geométrica dada por . Nosso objetivo é determinar se essa série converge ou diverge e, se convergir, encontrar sua soma. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da série:
Primeiro termo ():
Segundo termo:
Terceiro termo:
Quarto termo:
E assim por diante.
Passo 3
Em uma série geométrica, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante (). Vamos identificar essa razão:
Passo 4
Para determinar se a série converge ou diverge, observamos o valor absoluto da razão :
Como , sabemos que a série geométrica converge.
Passo 5
Como a série converge, podemos calcular a soma infinita usando a fórmula da soma da série geométrica: