Use o teste da integral para determinar se a série
converge ou diverge. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da integral para ver se a série
converge ou diverge. O teste da integral é ótimo quando a gente tem uma série infinita com termos positivos, contínuos e que vão diminuindo. Vamos precisar verificar essas condições e depois calcular uma integral para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função associada à série. A série é
, então a função é:
Precisamos checar se essa função é positiva, contínua e decrescente para
.
Passo 3
Positividade: Para
, tanto o numerador
quanto o denominador
são positivos, então
.
Continuidade: A função
é contínua quando o denominador não é zero. Como
para todo
, a função é contínua.
Decrescente: Vamos derivar
para ver se ela está diminuindo:
Para
,
, então
. Isso mostra que a função é decrescente a partir de
.
Passo 4
Agora que verificamos que
é positiva, contínua e decrescente para
, podemos aplicar o teste da integral. Vamos calcular a integral imprópria:
Fazendo uma substituição, deixe
, então
ou
. A integral vira:
Quando
tende ao infinito,
também tende ao infinito. Então, a integral diverge.
Resposta
Como a integral diverge, pelo teste da integral, a série
diverge.