Use o teste da integral para determinar se a série sumn=1^infty nn^2+4 converge ou diverge. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da integral para ver se a série converge ou diverge. O teste da integral é ótimo quando a gente tem uma série infinita com termos positivos, contínuos e que vão diminuindo. Vamos precisar verificar essas condições e depois calcular uma integral para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função associada à série. A série é f(x) = xx^2 + 4 , então a função é:
Precisamos checar se essa função é positiva, contínua e decrescente para .

Passo 3

Positividade: Para f'(x) = (1)(x^2 + 4) - x(2x)(x^2 + 4)^2 = x^2 + 4 - 2x^2(x^2 + 4)^2 = -x^2 + 4(x^2 + 4)^2 , tanto o numerador quanto o denominador são positivos, então .
Continuidade: A função é contínua quando o denominador não é zero. Como para todo , a função é contínua.
Decrescente: Vamos derivar para ver se ela está diminuindo:
Para , , então . Isso mostra que a função é decrescente a partir de .

Passo 4

Agora que verificamos que integral1^infty xx^2 + 4 , dx é positiva, contínua e decrescente para 12 integralu=5^infty 1u , du = 12 [ ln|u| ]5^infty , podemos aplicar o teste da integral. Vamos calcular a integral imprópria:
Fazendo uma substituição, deixe , então ou . A integral vira:
Quando tende ao infinito, também tende ao infinito. Então, a integral diverge.

Resposta

Como a integral diverge, pelo teste da integral, a série diverge.

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