Use o Teorema do Divergente (Teorema de Gauss) para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S, ou seja, o fluxo de F através de S. F(x, y, z)=(x^3 y,-x^2 y^2,-x^2 y z), S é a superfície do sólido delimitado pelo hiperbolóide x^2+y^2-z^2=1 e pelos palnos z=-2 e z=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício para calcular o fluxo do campo vetorial através de uma superfície . Essa superfície é definida pelo sólido limitado pelo hiperbolóide e pelos planos e . Para resolver isso, a gente vai usar o Teorema do Divergente (também conhecido como Teorema de Gauss), que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo. Vamos precisar calcular a divergência de e depois integrar isso sobre o volume delimitado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência mede o quanto o campo está “saindo” ou “entrando” de um ponto. Para um campo div , F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z , a divergência é dada por:
Vamos calcular isso para o nosso .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Fxpartial x = partialpartial x (x^3 y) = 3x^2 y
partial Fypartial y = partialpartial y (-x^2 y^2) = -2x^2 y
partial Fzpartial z = partialpartial z (-x^2 y z) = -x^2 y
Então, a divergência é:
div , F = 3x^2 y - 2x^2 y - x^2 y = 0

Passo 4

Agora que sabemos que a divergência de integral duplaS F cdot dS = integral triplaV div , F dV é zero, vamos aplicar o Teorema do Divergente. O teorema nos diz que:
integral triplaV 0 dV = 0
Mas já vimos que , então:

Passo 5

Portanto, o fluxo do campo através da superfície é zero.

Resposta

O fluxo de através de é igual a zero.

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