Use o Teorema do Divergente (Teorema de Gauss) para calcular a integral de superfície
, ou seja, o fluxo de
através de
.
,
é a superfície do sólido delimitado pelo hiperbolóide
e pelos palnos
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício para calcular o fluxo do campo vetorial
através de uma superfície
. Essa superfície é definida pelo sólido limitado pelo hiperbolóide
e pelos planos
e
. Para resolver isso, a gente vai usar o Teorema do Divergente (também conhecido como Teorema de Gauss), que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo. Vamos precisar calcular a divergência de
e depois integrar isso sobre o volume delimitado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência mede o quanto o campo está “saindo” ou “entrando” de um ponto. Para um campo
, a divergência é dada por:
Vamos calcular isso para o nosso
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Então, a divergência é:
Passo 4
Agora que sabemos que a divergência de
é zero, vamos aplicar o Teorema do Divergente. O teorema nos diz que:
Mas já vimos que
, então:
Passo 5
Portanto, o fluxo do campo
através da superfície
é zero.
Resposta
O fluxo de
através de
é igual a zero.