Aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema
em -\infty, +\infty
d/dt x = x + 3y - 2t^2, d/dt y = 3x + y + t + 5

Passo 1

Primeiro, vamos entender qual é o problema que precisamos resolver. Temos um sistema de equações diferenciais lineares com termos não homogêneos:
Vamos resolver esse sistema usando o método dos coeficientes indeterminados, que é útil quando os termos não homogêneos são polinômios, exponenciais, senos ou cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema homogêneo associado, ou seja, sem os termos não homogêneos:
Escrevemos isso na forma matricial:
Para encontrar as soluções, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes.

Passo 3

Vamos encontrar os autovalores ( lambda) resolvendo a equação característica:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Isso nos dá a equação , ou seja, . Podemos escolher .
Para :
Isso nos dá a equação , ou seja, . Podemos escolher .

Passo 5

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema homogêneo:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para o sistema completo com os termos não homogêneos:
Como os termos não homogêneos são polinômios de grau 2 ( e ), vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de grau 2:

Passo 7

Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo e suas derivadas no sistema original:
Simplificando as equações:
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes de termos semelhantes para encontrar A, B, C, D, E, e F.
Da primeira equação:
Da segunda equação:

Passo 9

Vamos resolver o sistema de equações resultante.
Da equação (4):
Substituindo D na equação (1):
Então,
Da equação (2):
Da equação (5):
Vamos resolver as equações (2a) e (5a):
Multiplicando a equação (2a) por 3:
Subtraindo a equação (5a) da equação (2b):
Substituindo E na equação (2a):
Da equação (3):
Da equação (6):
Resolvendo (3a) e (6a):
Multiplicando (3a) por 3:
Subtraindo (6a) de (3b):
Substituindo F na equação (3a):

Passo 10

Com os coeficientes encontrados:
A solução particular é:

Passo 11

Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados