Aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema
em
em
Passo 1
Primeiro, vamos entender qual é o problema que precisamos resolver. Temos um sistema de equações diferenciais lineares com termos não homogêneos:
Vamos resolver esse sistema usando o método dos coeficientes indeterminados, que é útil quando os termos não homogêneos são polinômios, exponenciais, senos ou cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema homogêneo associado, ou seja, sem os termos não homogêneos:
Escrevemos isso na forma matricial:
Para encontrar as soluções, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes.
Passo 3
Vamos encontrar os autovalores (
) resolvendo a equação característica:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Isso nos dá a equação
, ou seja,
. Podemos escolher
.
Para
:
Isso nos dá a equação
, ou seja,
. Podemos escolher
.
Passo 5
Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema homogêneo:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para o sistema completo com os termos não homogêneos:
Como os termos não homogêneos são polinômios de grau 2 (
e
), vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de grau 2:
Passo 7
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
e suas derivadas no sistema original:
Simplificando as equações:
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes de termos semelhantes para encontrar
,
,
,
,
, e
.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Passo 9
Vamos resolver o sistema de equações resultante.
Da equação (4):
Substituindo
na equação (1):
Então,
Da equação (2):
Da equação (5):
Vamos resolver as equações (2a) e (5a):
Multiplicando a equação (2a) por 3:
Subtraindo a equação (5a) da equação (2b):
Substituindo
na equação (2a):
Da equação (3):
Da equação (6):
Resolvendo (3a) e (6a):
Multiplicando (3a) por 3:
Subtraindo (6a) de (3b):
Substituindo
na equação (3a):
Passo 10
Com os coeficientes encontrados:
A solução particular é:
Passo 11
Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.