Aplique o método para encontrar uma primitiva para seguintes integrais: integral 11-cos (x)+sen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado com técnicas de integração, especialmente envolvendo identidades trigonométricas e substituição. Para resolver isso, vamos usar algumas manobras com funções trigonométricas e uma boa substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador 11 - cos(x) + sin(x) times 1 + cos(x) + sin(x)1 + cos(x) + sin(x) = 1 + cos(x) + sin(x)(1 - cos(x) + sin(x))(1 + cos(x) + sin(x)) . Para facilitar, vamos multiplicar o numerador e o denominador por . Isso ajuda a eliminar alguns termos e simplificar a expressão.

Passo 3

Agora, vamos expandir o denominador:
(1 - cos(x) + sin(x))(1 + cos(x) + sin(x)) = (1)^2 - (cos(x))^2 + (sin(x))^2 + outros termos que se cancelam
Sabemos que 1 - cos^2(x) + sin^2(x) = 1 - cos^2(x) + (1 - cos^2(x)) = 2(1 - cos^2(x)) = 2sin^2(x) , então substituindo:
Então, o denominador simplifica para .

Passo 4

Agora, nossa integral fica:
integral 1 + cos(x) + sin(x)2sin^2(x) , dx = 12 integral 1 + cos(x) + sin(x)sin^2(x) , dx
Vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
12 integral ( 1sin^2(x) + cos(x)sin^2(x) + sin(x)sin^2(x) ) dx = 12 integral ( csc^2(x) + cot(x)csc(x) + 1sin(x) ) dx

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. 12 ( -cot(x) - csc(x) + ln|tan(x2)| ) + C
  2. (usando substituição)
Então, juntando tudo:

Resposta

A primitiva da integral é:
-12 cot(x) - 12 csc(x) + 12 ln| tan(x2) | + C

Exercícios relacionados