Aplique o método para encontrar uma primitiva para seguintes integrais: integral 11-cos (x)+sen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado com técnicas de integração, especialmente envolvendo identidades trigonométricas e substituição. Para resolver isso, vamos usar algumas manobras com funções trigonométricas e uma boa substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador 11 - cos(x) + sin(x) times 1 + cos(x) + sin(x)1 + cos(x) + sin(x) = 1 + cos(x) + sin(x)(1 - cos(x) + sin(x))(1 + cos(x) + sin(x)) . Para facilitar, vamos multiplicar o numerador e o denominador por . Isso ajuda a eliminar alguns termos e simplificar a expressão.

Passo 3

Agora, vamos expandir o denominador:
(1 - cos(x) + sin(x))(1 + cos(x) + sin(x)) = (1)^2 - (cos(x))^2 + (sin(x))^2 + outros termos que se cancelam
Sabemos que 1 - cos^2(x) + sin^2(x) = 1 - cos^2(x) + (1 - cos^2(x)) = 2(1 - cos^2(x)) = 2sin^2(x) , então substituindo:
Então, o denominador simplifica para .

Passo 4

Agora, nossa integral fica:
integral 1 + cos(x) + sin(x)2sin^2(x) , dx = 12 integral 1 + cos(x) + sin(x)sin^2(x) , dx
Vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
12 integral ( 1sin^2(x) + cos(x)sin^2(x) + sin(x)sin^2(x) ) dx = 12 integral ( csc^2(x) + cot(x)csc(x) + 1sin(x) ) dx

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. 12 ( -cot(x) - csc(x) + ln|tan(x2)| ) + C
  2. (usando substituição)
Então, juntando tudo:

Resposta

A primitiva da integral é:
-12 cot(x) - 12 csc(x) + 12 ln| tan(x2) | + C

Exercícios relacionados

Um caixa d’água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2 m e altura igual a 4 m . Se inicialmente a caixa está vazia e a água está sendo bombeada para dentro da caixa a uma taxa de 0,5 m^3/min, encontre a função h = h(t) que fornece o nível d’água em um instante t ≥ 0.
& (a) integral cos ^n(x) d x=cos ^n-1(x) sen(x)n+n-1n integral cos ^n-2(x) d x, n=1,2, ldots & (b) integral sen^n(x) d x=-sen^n-1(x) cos (x)n+n-1n integral sen^n-2(x) d x, n=1,2, ldots
Calcule as seguintes integrais usando uma substituição adequada: integral ln (2 x+3) d x
A população (em milhares) de uma colônia de bactérias t minutos após a introdução de uma toxina é dada pela função
f(t) = { t^2 + 7 para 0 <= t < 5; -8t + 72 para t >= 5 }
Mostre que esta função é contínua e explique por que a população deve ser 10.000 em algum instante t com 1 < t < 7.