Um caixa d’água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2 m e altura igual a 4 m . Se inicialmente a caixa está vazia e a água está sendo bombeada para dentro da caixa a uma taxa de 0,5 m^3/min, encontre a função h = h(t) que fornece o nível d’água em um instante t ≥ 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo um caixa d’água em formato de cone invertido. Queremos descobrir como o nível da água varia com o tempo . Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de geometria dos cones e cálculo, especificamente taxas de variação relacionadas ao volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume de um cone é dado por:
onde é o raio da base e é a altura do cone.

Passo 3

No nosso caso, o cone tem uma altura total de e um raio de base de . Mas a água está enchendo o cone, formando um cone menor com altura e raio .
Como o cone menor é semelhante ao cone maior, temos uma relação entre os raios e as alturas:

Passo 4

Substituindo na fórmula do volume, ficamos com:

Passo 5

Sabemos que a água está sendo bombeada para o caixa a uma taxa de . Vamos relacionar isso com a taxa de variação da altura .
Derivando a expressão do volume em relação ao tempo:

Passo 6

Igualando à taxa de bombeamento:
Isolando :

Passo 7

Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:

Passo 8

Considerando que inicialmente a caixa está vazia ( quando ), o constante de integração . Então:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Finalmente, resolvendo para :

Resposta

A função que descreve o nível da água no caixa d’água em função do tempo é:

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