Um caixa d’água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2 m e altura igual a 4 m . Se inicialmente a caixa está vazia e a água está sendo bombeada para dentro da caixa a uma taxa de
, encontre a função
que fornece o nível d’água em um instante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo um caixa d’água em formato de cone invertido. Queremos descobrir como o nível da água
varia com o tempo
. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de geometria dos cones e cálculo, especificamente taxas de variação relacionadas ao volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume de um cone é dado por:
onde
é o raio da base e
é a altura do cone.
Passo 3
No nosso caso, o cone tem uma altura total de
e um raio de base de
. Mas a água está enchendo o cone, formando um cone menor com altura
e raio
.
Como o cone menor é semelhante ao cone maior, temos uma relação entre os raios e as alturas:
Passo 4
Substituindo
na fórmula do volume, ficamos com:
Passo 5
Sabemos que a água está sendo bombeada para o caixa a uma taxa de
. Vamos relacionar isso com a taxa de variação da altura
.
Derivando a expressão do volume em relação ao tempo:
Passo 6
Igualando à taxa de bombeamento:
Isolando
:
Passo 7
Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
Passo 8
Considerando que inicialmente a caixa está vazia (
quando
), o constante de integração
. Então:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Finalmente, resolvendo para
:
Resposta
A função que descreve o nível da água no caixa d’água em função do tempo é:
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(30)
(30)
Aplique o método para encontrar uma primitiva para seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais usando uma substituição adequada: