Calcule as seguintes integrais usando uma substituição adequada: integral ln (2 x+3) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . A matéria que estamos lidando aqui é cálculo integral, especificamente usando o método de substituição. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer uma substituição que simplifique a integral para algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função dentro da integral que podemos substituir. Observamos que dentro do logaritmo temos u = 2x + 3 . Vamos chamar isso de :
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral.

Passo 3

Calculando a derivada de dudx = 2 Rightarrow du = 2 , dx Rightarrow dx = du2 :
Isso nos permite reescrever a integral em termos de .

Passo 4

Substituindo integral ln(2x + 3) , dx = integral ln(u) cdot du2 = 12 integral ln(u) , du e na integral original:
Agora, temos uma integral mais simples: .

Passo 5

Para integrar integral u , dv = uv - integral v , du , usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
f(u) = ln(u) Rightarrow df = 1u , du
Aqui, vamos deixar dg = du Rightarrow g = u e . Então:

Passo 6

Aplicando a integração por partes:
integral ln(u) , du = u ln(u) - integral u cdot 1u , du = u ln(u) - integral 1 , du = u ln(u) - u + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à nossa substituição original 12 integral ln(u) , du = 12 (u ln(u) - u) + C = 12 (2x + 3) ln(2x + 3) - 12 (2x + 3) + C :
= (x + 32) ln(2x + 3) - (x + 32) + C
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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