Calcule as seguintes integrais usando uma substituição adequada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. A matéria que estamos lidando aqui é cálculo integral, especificamente usando o método de substituição. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer uma substituição que simplifique a integral para algo mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função dentro da integral que podemos substituir. Observamos que dentro do logaritmo temos
. Vamos chamar isso de
:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Isso nos permite reescrever a integral em termos de
.
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Agora, temos uma integral mais simples:
.
Passo 5
Para integrar
, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Aqui, vamos deixar
e
. Então:
Passo 6
Aplicando a integração por partes:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltando à nossa substituição original
:
Simplificando:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.