Calcule as seguintes integrais usando uma substituição adequada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. A matéria que estamos lidando aqui é cálculo integral, especificamente usando o método de substituição. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer uma substituição que simplifique a integral para algo mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função dentro da integral que podemos substituir. Observamos que dentro do logaritmo temos
. Vamos chamar isso de
:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Isso nos permite reescrever a integral em termos de
.
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Agora, temos uma integral mais simples:
.
Passo 5
Para integrar
, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Aqui, vamos deixar
e
. Então:
Passo 6
Aplicando a integração por partes:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltando à nossa substituição original
:
Simplificando:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
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Aplique o método para encontrar uma primitiva para seguintes integrais:
Um caixa d’água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2 m e altura igual a 4 m . Se inicialmente a caixa está vazia e a água está sendo bombeada para dentro da caixa a uma taxa de
, encontre a função
que fornece o nível d’água em um instante
.
A população (em milhares) de uma colônia de bactérias
minutos após a introdução de uma toxina é dada pela função
Mostre que esta função é contínua e explique por que a população deve ser 10.000 em algum instante
com
.
O césio-137 desintegra-se a uma taxa proporcional à quantidade de material presente. Se sua meia vida (tempo necessário para
da massa inicialmente presente desintegrar-se) é de 30 anos e se a massa inicial (presente no instante
) é de
faça o que se pede: Expresse a massa
, em gramas, após decorridos
de ciclos de meia vida (tempo
anos ). Qual é a massa de césio-137 que permanece ainda depois de decorrido 120 anos?