Passo 1
Então, galera! A gente tem um exercício que nos dá duas fórmulas para integrar potências de cosseno e seno. O objetivo é entender como chegamos nessas fórmulas. Vamos trabalhar com integrais de
e . Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de integração, como a substituição e a integração por partes.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a):
. A ideia aqui é reduzir a potência do cosseno para facilitar a integração. Para isso, podemos usar a identidade trigonométrica que relaciona
com , mas uma abordagem mais direta é usar a integração por partes.
Passo 3
Lembre-se que a integração por partes é baseada na fórmula:
Vamos escolher
e
de forma que a integral se simplifique. Vamos deixar:
Então, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Calculando
:
E calculando
:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Agora, usamos a identidade para simplificar a integral restante.
Passo 7
Substituindo :
Distribuindo:
Passo 8
Vamos rearranjar os termos para isolar
:
Somando as integrais de
:
Passo 9
Finalmente, isolamos a integral de
:
Pronto! Essa é a fórmula de redução para a integral de
.
Resposta
A fórmula de redução para
é:
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(30)
(30)
Calcule as seguintes integrais, usando o método das frações parciais:
Um caixa d’água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2 m e altura igual a 4 m . Se inicialmente a caixa está vazia e a água está sendo bombeada para dentro da caixa a uma taxa de
, encontre a função
que fornece o nível d’água em um instante
.
Aplique o método para encontrar uma primitiva para seguintes integrais: