Passo 1

Então, galera! A gente tem um exercício que nos dá duas fórmulas para integrar potências de cosseno e seno. O objetivo é entender como chegamos nessas fórmulas. Vamos trabalhar com integrais de e . Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de integração, como a substituição e a integração por partes.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): . A ideia aqui é reduzir a potência do cosseno para facilitar a integração. Para isso, podemos usar a identidade trigonométrica que relaciona com , mas uma abordagem mais direta é usar a integração por partes.

Passo 3

Lembre-se que a integração por partes é baseada na fórmula:
Vamos escolher e de forma que a integral se simplifique. Vamos deixar:
Então, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando :
E calculando :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Agora, usamos a identidade para simplificar a integral restante.

Passo 7

Substituindo :
Distribuindo:

Passo 8

Vamos rearranjar os termos para isolar :
Somando as integrais de :

Passo 9

Finalmente, isolamos a integral de :
Pronto! Essa é a fórmula de redução para a integral de .

Resposta

A fórmula de redução para é:

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(30)
Calcule as seguintes integrais, usando o método das frações parciais:
Um caixa d’água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2 m e altura igual a 4 m . Se inicialmente a caixa está vazia e a água está sendo bombeada para dentro da caixa a uma taxa de , encontre a função que fornece o nível d’água em um instante .
Aplique o método para encontrar uma primitiva para seguintes integrais: