& (a) integral cos ^n(x) d x=cos ^n-1(x) sen(x)n+n-1n integral cos ^n-2(x) d x, n=1,2, ldots & (b) integral sen^n(x) d x=-sen^n-1(x) cos (x)n+n-1n integral sen^n-2(x) d x, n=1,2, ldots

Passo 1

Então, galera! A gente tem um exercício que nos dá duas fórmulas para integrar potências de cosseno e seno. O objetivo é entender como chegamos nessas fórmulas. Vamos trabalhar com integrais de e . Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de integração, como a substituição e a integração por partes.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): . A ideia aqui é reduzir a potência do cosseno para facilitar a integração. Para isso, podemos usar a identidade trigonométrica que relaciona com , mas uma abordagem mais direta é usar a integração por partes.

Passo 3

Lembre-se que a integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher u = cos^n-1(x) e dv = cos(x) , dx e de forma que a integral se simplifique. Vamos deixar:
Então, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando du = (n-1) cos^n-2(x) (-sen(x)) , dx = -(n-1) cos^n-2(x) sen(x) , dx :
E calculando v = integral cos(x) , dx = sen(x) :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral cos^n(x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Agora, usamos a identidade para simplificar a integral restante.

Passo 7

Substituindo :
Distribuindo:

Passo 8

Vamos rearranjar os termos para isolar integral cos^n(x) , dx + (n-1) integral cos^n(x) , dx = cos^n-1(x) sen(x) + (n-1) integral cos^n-2(x) , dx :
Somando as integrais de n integral cos^n(x) , dx = cos^n-1(x) sen(x) + (n-1) integral cos^n-2(x) , dx :

Passo 9

Finalmente, isolamos a integral de integral cos^n(x) , dx = cos^n-1(x) sen(x)n + n-1n integral cos^n-2(x) , dx :
Pronto! Essa é a fórmula de redução para a integral de .

Resposta

A fórmula de redução para integral cos^n(x) , dx = cos^n-1(x) sen(x)n + n-1n integral cos^n-2(x) , dx é:

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