A população (em milhares) de uma colônia de bactérias t minutos após a introdução de uma toxina é dada pela função
f(t) = { t^2 + 7 para 0 <= t < 5; -8t + 72 para t >= 5 }
Mostre que esta função é contínua e explique por que a população deve ser 10.000 em algum instante t com 1 < t < 7.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que representa a população de uma colônia de bactérias em milhares, dependendo do tempo em minutos após a introdução de uma toxina. A função é definida por partes:
Precisamos mostrar que essa função é contínua e, além disso, demonstrar por que a população deve chegar a 10 (ou seja, 10.000 bactérias) em algum instante entre 1 e 7 minutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua. Uma função por partes é contínua se for contínua em cada intervalo e se os valores das partes se conectarem sem saltos no ponto onde as funções mudam de definição. No nosso caso, a mudança ocorre em .

Passo 3

Vamos calcular os limites da função quando se aproxima de 5 por ambos os lados.
Para se aproximando de 5 pela esquerda ( ):
Para se aproximando de 5 pela direita ( ):
Além disso, o valor da função em é:

Passo 4

Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e também iguais ao valor da função em , a função é contínua nesse ponto. Já que a função é contínua em todos os intervalos (polinômios são contínuos) e no ponto de conexão, concluímos que é contínua para todo no seu domínio.

Passo 5

Agora, vamos mostrar que a população alcança 10.000 bactérias, ou seja, , em algum instante entre 1 e 7 minutos. Para isso, usamos o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função é contínua em um intervalo e tem valores e tais que está entre e , então existe pelo menos um em tal que .

Passo 6

Primeiro, vamos calcular em e .
Para (que está no intervalo ):
Para (que está no intervalo ):

Passo 7

Observamos que e . Queremos que . Como 10 está entre 8 e 16, e a função é contínua no intervalo [1,7], pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um em (1,7) tal que .

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio e, pelo Teorema do Valor Intermediário, a população alcança 10.000 bactérias em algum instante entre 1 e 7 minutos.

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