A população (em milhares) de uma colônia de bactérias
minutos após a introdução de uma toxina é dada pela função
Mostre que esta função é contínua e explique por que a população deve ser 10.000 em algum instante
com
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que representa a população de uma colônia de bactérias em milhares, dependendo do tempo
em minutos após a introdução de uma toxina. A função é definida por partes:
Precisamos mostrar que essa função é contínua e, além disso, demonstrar por que a população deve chegar a 10 (ou seja, 10.000 bactérias) em algum instante
entre 1 e 7 minutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua. Uma função por partes é contínua se for contínua em cada intervalo e se os valores das partes se conectarem sem saltos no ponto onde as funções mudam de definição. No nosso caso, a mudança ocorre em
.
Passo 3
Vamos calcular os limites da função quando
se aproxima de 5 por ambos os lados.
Para
se aproximando de 5 pela esquerda (
):
Para
se aproximando de 5 pela direita (
):
Além disso, o valor da função em
é:
Passo 4
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e também iguais ao valor da função em
, a função
é contínua nesse ponto. Já que a função é contínua em todos os intervalos (polinômios são contínuos) e no ponto de conexão, concluímos que
é contínua para todo
no seu domínio.
Passo 5
Agora, vamos mostrar que a população alcança 10.000 bactérias, ou seja,
, em algum instante
entre 1 e 7 minutos. Para isso, usamos o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função é contínua em um intervalo e tem valores
e
tais que
está entre
e
, então existe pelo menos um
em
tal que
.
Passo 6
Primeiro, vamos calcular
em
e
.
Para
(que está no intervalo
):
Para
(que está no intervalo
):
Passo 7
Observamos que
e
. Queremos que
. Como 10 está entre 8 e 16, e a função é contínua no intervalo [1,7], pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um
em (1,7) tal que
.
Resposta
A função
é contínua em todo o seu domínio e, pelo Teorema do Valor Intermediário, a população alcança 10.000 bactérias em algum instante
entre 1 e 7 minutos.
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