Aplique o método de Gauss-Jordan para resolver os seguintes sistemas:
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. Esse método envolve transformar o sistema em uma matriz aumentada e fazer uma série de operações para chegar em uma forma que facilite encontrar as soluções das variáveis. Aqui, temos um sistema com quatro incógnitas (x1, x2, x3, x4) e três equações, então esperamos encontrar soluções em termos de parâmetros livres.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema como uma matriz aumentada. A matriz aumentada junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes das equações:
Agora, queremos transformar essa matriz em uma forma mais simples. O primeiro passo é garantir que o primeiro elemento da primeira linha seja 1, o que já está feito. Nosso objetivo é eliminar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna.
Passo 4
Vamos eliminar o x1 das outras linhas. Para isso, faremos as seguintes operações:
Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
Subtrair 1 vez a primeira linha da terceira linha.
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1 (já está) e eliminar os elementos acima e abaixo dele na coluna.
Para eliminar o -2 da primeira linha, adicionamos 2 vezes a segunda linha à primeira linha.
Para eliminar o 1 da terceira linha, subtraímos a segunda linha da terceira linha.
Agora, vamos trabalhar com a terceira coluna. Queremos que o terceiro elemento da terceira linha seja 1. Para isso, multiplicamos a terceira linha por -0.5:
Por último, observamos que a quarta coluna não tem um pivô, o que significa que x4 é uma variável livre. Vamos chamar x4 = t, onde t pode ser qualquer número real.
Agora, podemos expressar as soluções das variáveis em termos de t:
x1 = -3 - 3t x2 = -3 - 2t x3 = 0 x4 = t
Resposta
A solução geral do sistema é:
x1 = -3 - 3t x2 = -3 - 2t x3 = 0 x4 = t onde t in R