Aplique o método de Gauss-Jordan para resolver os seguintes sistemas:
(b) lx1-2 x2-x3-x4=3 2 x1-3 x2=3 x1-x2-x3+x4=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. Esse método envolve transformar o sistema em uma matriz aumentada e fazer uma série de operações para chegar em uma forma que facilite encontrar as soluções das variáveis. Aqui, temos um sistema com quatro incógnitas ( x1, x2, x3, x4) e três equações, então esperamos encontrar soluções em termos de parâmetros livres.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema como uma matriz aumentada. A matriz aumentada junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes das equações:
1 & -2 & -1 & -1 & | & 3 2 & -3 & 0 & 0 & | & 3 1 & -1 & -1 & 1 & | & 0

Passo 3

Agora, queremos transformar essa matriz em uma forma mais simples. O primeiro passo é garantir que o primeiro elemento da primeira linha seja 1, o que já está feito. Nosso objetivo é eliminar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna.

Passo 4

Vamos eliminar o x1 das outras linhas. Para isso, faremos as seguintes operações:
  • Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Subtrair 1 vez a primeira linha da terceira linha.
Após essas operações, a matriz fica:
1 & -2 & -1 & -1 & | & 3 0 & 1 & 2 & 2 & | & -3 0 & 1 & 0 & 2 & | & -3

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1 (já está) e eliminar os elementos acima e abaixo dele na coluna.
  • Para eliminar o -2 da primeira linha, adicionamos 2 vezes a segunda linha à primeira linha.
  • Para eliminar o 1 da terceira linha, subtraímos a segunda linha da terceira linha.
A matriz atualizada fica:
1 & 0 & 3 & 3 & | & -3 0 & 1 & 2 & 2 & | & -3 0 & 0 & -2 & 0 & | & 0

Passo 6

Agora, vamos trabalhar com a terceira coluna. Queremos que o terceiro elemento da terceira linha seja 1. Para isso, multiplicamos a terceira linha por -0.5:
1 & 0 & 3 & 3 & | & -3 0 & 1 & 2 & 2 & | & -3 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0

Passo 7

Com o pivô da terceira coluna igual a 1, agora vamos eliminar os outros elementos na terceira coluna:
  • Subtrair 3 vezes a terceira linha da primeira linha.
  • Subtrair 2 vezes a terceira linha da segunda linha.
A matriz fica:
1 & 0 & 0 & 3 & | & -3 0 & 1 & 0 & 2 & | & -3 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0

Passo 8

Por último, observamos que a quarta coluna não tem um pivô, o que significa que x4 é uma variável livre. Vamos chamar x4 = t, onde t pode ser qualquer número real.
Agora, podemos expressar as soluções das variáveis em termos de t:
x1 = -3 - 3t x2 = -3 - 2t x3 = 0 x4 = t

Resposta

A solução geral do sistema é:
x1 = -3 - 3t x2 = -3 - 2t x3 = 0 x4 = t onde t in R

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