Aplique o método de Gauss-Jordan para resolver os seguintes sistemas:
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. Esse método envolve transformar o sistema em uma matriz aumentada e fazer uma série de operações para chegar em uma forma que facilite encontrar as soluções das variáveis. Aqui, temos um sistema com quatro incógnitas (, , , ) e três equações, então esperamos encontrar soluções em termos de parâmetros livres.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema como uma matriz aumentada. A matriz aumentada junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes das equações:
Passo 3
Agora, queremos transformar essa matriz em uma forma mais simples. O primeiro passo é garantir que o primeiro elemento da primeira linha seja 1, o que já está feito. Nosso objetivo é eliminar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna.
Passo 4
Vamos eliminar o das outras linhas. Para isso, faremos as seguintes operações:
Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
Subtrair 1 vez a primeira linha da terceira linha.
Após essas operações, a matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1 (já está) e eliminar os elementos acima e abaixo dele na coluna.
Para eliminar o da primeira linha, adicionamos 2 vezes a segunda linha à primeira linha.
Para eliminar o da terceira linha, subtraímos a segunda linha da terceira linha.
A matriz atualizada fica:
Passo 6
Agora, vamos trabalhar com a terceira coluna. Queremos que o terceiro elemento da terceira linha seja 1. Para isso, multiplicamos a terceira linha por :
Passo 7
Com o pivô da terceira coluna igual a 1, agora vamos eliminar os outros elementos na terceira coluna:
Subtrair 3 vezes a terceira linha da primeira linha.
Subtrair 2 vezes a terceira linha da segunda linha.
A matriz fica:
Passo 8
Por último, observamos que a quarta coluna não tem um pivô, o que significa que é uma variável livre. Vamos chamar , onde pode ser qualquer número real.
Agora, podemos expressar as soluções das variáveis em termos de :