Aplique o método de Gauss-Jordan para resolver os seguintes sistemas:
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. Esse método envolve transformar o sistema em uma matriz aumentada e fazer uma série de operações para chegar em uma forma que facilite encontrar as soluções das variáveis. Aqui, temos um sistema com quatro incógnitas ( , , , ) e três equações, então esperamos encontrar soluções em termos de parâmetros livres.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema como uma matriz aumentada. A matriz aumentada junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes das equações:

Passo 3

Agora, queremos transformar essa matriz em uma forma mais simples. O primeiro passo é garantir que o primeiro elemento da primeira linha seja 1, o que já está feito. Nosso objetivo é eliminar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna.

Passo 4

Vamos eliminar o das outras linhas. Para isso, faremos as seguintes operações:
  • Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Subtrair 1 vez a primeira linha da terceira linha.
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1 (já está) e eliminar os elementos acima e abaixo dele na coluna.
  • Para eliminar o da primeira linha, adicionamos 2 vezes a segunda linha à primeira linha.
  • Para eliminar o da terceira linha, subtraímos a segunda linha da terceira linha.
A matriz atualizada fica:

Passo 6

Agora, vamos trabalhar com a terceira coluna. Queremos que o terceiro elemento da terceira linha seja 1. Para isso, multiplicamos a terceira linha por :

Passo 7

Com o pivô da terceira coluna igual a 1, agora vamos eliminar os outros elementos na terceira coluna:
  • Subtrair 3 vezes a terceira linha da primeira linha.
  • Subtrair 2 vezes a terceira linha da segunda linha.
A matriz fica:

Passo 8

Por último, observamos que a quarta coluna não tem um pivô, o que significa que é uma variável livre. Vamos chamar , onde pode ser qualquer número real.
Agora, podemos expressar as soluções das variáveis em termos de :

Resposta

A solução geral do sistema é:

Exercícios relacionados

Encontre todas as soluções do sistema
Resposta:
Considere o Sistema Linear abaixo:
Indique TODAS as alternativas corretas. Atenção: cada resposta incorreta anula uma correta.
a. Se , então o sistema é impossivel
b. Se , então o sistema é possivel e determinado
c. Se , então o sistema é impossivel
d. Se , então o sistema é possivel e determinado
e. Se , então o sistema é possivel e indeterminado
f. Se , então o sistema é possivel e determinado
g. Se , então o sistema é possivel e indeterminado
Indique as matrizes que estão na forma escalonada e quais estão na forma escalonada reduzida. Para aquelas que estão, indique os pivôs de cada linha; e para aqueles que não o fazem, mencione as propriedades que não são atendidas para esse fim.
©
Para cada matriz ampliada abaixo, determine se o sistema escalonado tem uma única solução, tem uma infinidade de soluções ou nenhuma solução, sem resolvê-lo; em sistemas compatíveis, indique quantas são as variáveis livres e as variáveis dependentes.
(d)