Encontre todas as soluções do sistema
& x1+3 x2+2 x3+3 x4-7 x5=14 & 2 x1+6 x2+x3-2 x4+5 x5=-2 & x1+3 x2-x3+2 x5=-1
Resposta: S=(1-3 x2-x5, x2, 2+x5, 3+2 x5, x5): x2, x5 in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de três equações com cinco incógnitas: e . Isso significa que temos mais variáveis do que equações, então provavelmente teremos infinitas soluções. Nosso objetivo é encontrar todas as possíveis soluções expressando algumas variáveis em termos das outras. Para isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como substituição e eliminação, para simplificar o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 - 7x5 = 14 (1) 2x1 + 6x2 + x3 - 2x4 + 5x5 = -2 (2) x1 + 3x2 - x3 + 2x5 = -1 (3)
Observamos que as equações (1) e (2) são múltiplas umas das outras em parte. Vamos tentar simplificar eliminando algumas variáveis.

Passo 3

Começamos isolando uma variável em uma das equações. Vamos isolar x1 = -1 - 3x2 + x3 - 2x5 (4) na equação (3):
Agora, substituímos essa expressão de nas equações (1) e (2).

Passo 4

Substituindo (-1 - 3x2 + x3 - 2x5) + 3x2 + 2x3 + 3x4 - 7x5 = 14 da equação (4) na equação (1):
-1 - 3x2 + x3 - 2x5 + 3x2 + 2x3 + 3x4 - 7x5 = 14
Simplificando:
-1 + 3x3 + 3x4 - 9x5 = 14
3x3 + 3x4 - 9x5 = 15
x3 + x4 - 3x5 = 5 (5)

Passo 5

Agora, substituímos 2(-1 - 3x2 + x3 - 2x5) + 6x2 + x3 - 2x4 + 5x5 = -2 da equação (4) na equação (2):
-2 - 6x2 + 2x3 - 4x5 + 6x2 + x3 - 2x4 + 5x5 = -2
Simplificando:
-2 + 3x3 - 2x4 + x5 = -2
3x3 - 2x4 + x5 = 0 (6)

Passo 6

Agora temos um sistema reduzido com as equações (5) e (6):
x3 + x4 - 3x5 = 5 (5) 3x3 - 2x4 + x5 = 0 (6)
Vamos resolver esse sistema para e em função de .

Passo 7

Vamos multiplicar a equação (5) por 2 para facilitar a eliminação de 2x3 + 2x4 - 6x5 = 10 (7) :
(2x3 + 2x4 - 6x5) + (3x3 - 2x4 + x5) = 10 + 0
Agora, somamos a equação (7) com a equação (6):
5x3 - 5x5 = 10
x3 - x5 = 2
x3 = 2 + x5 (8)

Passo 8

Agora que temos (2 + x5) + x4 - 3x5 = 5 em termos de x4 - 2x5 = 3 , substituímos na equação (5) para encontrar x4 = 3 + 2x5 (9) :

Passo 9

Agora que temos x1 = -1 - 3x2 + (2 + x5) - 2x5 e x1 = -1 - 3x2 + 2 + x5 - 2x5 em termos de x1 = 1 - 3x2 - x5 (10) , podemos voltar à equação (4) para encontrar :

Passo 10

Finalmente, já resolvemos todas as variáveis em termos de e , que são as variáveis livres (podem assumir qualquer valor real). Assim, podemos expressar a solução do sistema como:

Resposta

S = (1 - 3x2 - x5,; x2,; 2 + x5,; 3 + 2x5,; x5 ) ;:; x2,, x5 in R

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