Indique as matrizes que estão na forma escalonada e quais estão na forma escalonada reduzida. Para aquelas que estão, indique os pivôs de cada linha; e para aqueles que não o fazem, mencione as propriedades que não são atendidas para esse fim.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para verificar se a matriz dada está na forma escalonada ou na forma escalonada reduzida. Além disso, precisamos identificar os pivôs de cada linha se ela estiver em uma dessas formas. Se não estiver, vamos apontar quais propriedades faltam para que a matriz se encaixe nessas formas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são forma escalonada e forma escalonada reduzida.
  • Forma Escalonada:
    1. Todas as linhas nulas estão embaixo das linhas não nulas.
    2. O primeiro número não nulo de cada linha (chamado de pivô) está à direita do pivô da linha acima.
    3. Os elementos abaixo de cada pivô são zeros.
  • Forma Escalonada Reduzida:
    Além das condições da forma escalonada, ela também exige:
    4. Cada pivô é igual a 1.
    5. Os elementos acima de cada pivô são zeros.

Passo 3

Vamos analisar a matriz fornecida:
Primeiro, identificamos os pivôs de cada linha não nula:
  • Primeira linha: o primeiro elemento não nulo é -1 (posição (1,1)).
  • Segunda linha: o primeiro elemento não nulo é 1 (posição (2,2)).

Passo 4

Agora, vamos verificar se a matriz está na forma escalonada:
  1. Linhas nulas estão abaixo das não nulas? Sim, as últimas três linhas são todas nulas e estão abaixo das duas linhas não nulas.
  2. Os pivôs estão à direita do pivô da linha acima? Sim, o pivô da segunda linha (coluna 2) está à direita do pivô da primeira linha (coluna 1).
  3. Elementos abaixo dos pivôs são zeros? Sim, abaixo de -1 e 1, todos os elementos são zeros.
Então, a matriz está na forma escalonada.

Passo 5

Agora, vamos verificar se está na forma escalonada reduzida:
  1. Cada pivô é igual a 1? A primeira linha tem um pivô igual a -1, que não é 1. A segunda linha tem um pivô igual a 1.
  2. Os elementos acima dos pivôs são zeros? O elemento acima do pivô da segunda linha (posição (1,2)) é 1, que não é zero.
Como a primeira condição não é totalmente satisfeita e há elementos acima de um pivô que não são zero, a matriz não está na forma escalonada reduzida.

Resposta

A matriz está na forma escalonada, com os pivôs nas posições (1,1) e (2,2). No entanto, não está na forma escalonada reduzida porque o pivô da primeira linha não é igual a 1 e há um elemento acima de um pivô que não é zero.

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(d)
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