Para cada matriz ampliada abaixo, determine se o sistema escalonado tem uma única solução, tem uma infinidade de soluções ou nenhuma solução, sem resolvê-lo; em sistemas compatíveis, indique quantas são as variáveis livres e as variáveis dependentes.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz ampliada que representa um sistema de equações lineares. Nosso objetivo é determinar se esse sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução, sem realmente resolver o sistema. Além disso, se o sistema for compatível (ou seja, tiver pelo menos uma solução), precisamos identificar quantas variáveis são livres e quantas são dependentes. Para isso, vamos usar conceitos de escalonamento de matrizes e teoria das soluções de sistemas lineares.
Passo 2
Vamos analisar a matriz ampliada dada:
Essa matriz está em forma escalonada, onde cada linha tem um “pivô” (um número diferente de zero) que está mais à direita que o pivô da linha acima.
Passo 3
Vamos verificar se existe alguma linha que possa indicar uma contradição. Se tivermos uma linha onde todos os coeficientes das variáveis são zero, mas o termo independente não for zero (por exemplo, ), isso significaria que não há solução para o sistema. Observando a quarta linha:
Como todos os termos são zero, essa linha não gera nenhuma contradição.
Passo 4
Como não há contradições, o sistema é compatível, ou seja, tem pelo menos uma solução. Agora, vamos determinar se essa solução é única ou se há infinitas soluções. Para isso, contamos o número de variáveis livres e variáveis dependentes.
Passo 5
Contamos o número de pivôs, que são os primeiros elementos não nulos de cada linha:
Primeira linha: pivô na coluna 1.
Segunda linha: pivô na coluna 3.
Terceira linha: pivô na coluna 4.
Total de pivôs: 3.
Como temos 4 variáveis (colunas 1 a 4), o número de variáveis livres é dado por:
úáúáúô
Portanto, há uma variável livre.
Passo 6
As variáveis associadas aos pivôs são chamadas de variáveis dependentes. No nosso caso, as variáveis das colunas 1, 3 e 4 são dependentes, e a variável da coluna 2 é livre.
Isso significa que podemos atribuir qualquer valor à variável livre (x₂) e, com base nisso, determinar os valores das variáveis dependentes (x₁, x₃ e x₄).
Resposta
O sistema é compatível e possui infinitas soluções, com uma variável livre e três variáveis dependentes.