Considere o Sistema Linear abaixo:
Indique TODAS as alternativas corretas. Atenção: cada resposta incorreta anula uma correta.
a. Se , então o sistema é impossivel
b. Se , então o sistema é possivel e determinado
c. Se , então o sistema é impossivel
d. Se , então o sistema é possivel e determinado
e. Se , então o sistema é possivel e indeterminado
f. Se , então o sistema é possivel e determinado
g. Se , então o sistema é possivel e indeterminado

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse sistema linear que você trouxe:
Aqui, a gente está lidando com equações lineares com duas incógnitas, e . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de o sistema tem solução e que tipo de solução ele tem (determinado, indeterminado ou impossível). Para isso, vamos precisar entender como resolver sistemas lineares e identificar se eles são consistentes ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para resolver um sistema linear com duas equações e duas incógnitas, podemos usar o método da substituição, da eliminação ou analisar o determinante da matriz dos coeficientes.
Vamos reescrever o sistema de forma mais simples:
  1.  → Equação (1)
  2.  → Equação (2)
Vamos resolver a Equação (1) para uma das incógnitas. Vamos isolar :
Agora, substituímos esse valor de na Equação (2):
Simplificando:
Combinar os termos com :
Isolando :
Então:
E substituindo de volta na Equação (1):
Agora temos expressões para e em termos de . Vamos analisar o que isso significa para diferentes valores de .

Passo 3

Vamos analisar cada alternativa uma por uma:
a. Se , então o sistema é impossível
Primeiro, calculamos :
Quando , .
Isso faz com que o denominador de seja zero, o que indica que o sistema pode ser impossível ou indeterminado. Para verificar, substituímos nas equações originais:
  1. → Dividindo por 2:
Agora temos:
e , o que é impossível porque uma mesma soma não pode ser igual a dois valores diferentes. Portanto, a alternativa a está correta.
b. Se , então o sistema é possível e determinado
Se , então ou .
Nesse caso, , então o denominador não é zero. Isso significa que existe uma solução única para e, consequentemente, para . Portanto, o sistema é possível e determinado. A alternativa b está correta.
c. Se , então o sistema é impossível
Vamos verificar:
Calculando : .
Como o denominador é zero, o sistema pode ser impossível ou indeterminado. Substituindo nas equações originais:
  1. → Dividindo por 2:
Agora temos:
e
Novamente, isso é impossível porque a mesma soma não pode ter valores diferentes. Portanto, a alternativa c está correta.
d. Se , então o sistema é possível e determinado
Calculando : .
Com o denominador não nulo, o sistema tem uma solução única. Portanto, o sistema é possível e determinado. A alternativa d está correta.
e. Se , então o sistema é possível e indeterminado
Já vimos que para , o sistema é impossível. Portanto, a alternativa e está incorreta.
f. Se , então o sistema é possível e determinado
Para , vimos que o sistema é impossível. Portanto, a alternativa f está incorreta.
g. Se , então o sistema é possível e indeterminado
Novamente, para , o sistema é impossível. Logo, a alternativa g está incorreta.

Resposta

As alternativas corretas são a, b, c e d.

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Qual a interseção entre os planos descritos pelas equações e ?
Escolha uma opção:
a. O conjunto vazio
b. Apenas o ponto
c. Apenas os pontos e .
d. Qualquer ponto que satisfaça simultaneamente as equações e .
e. Qualquer ponto que satisfaça a equação .
Para qual(is) valor(es) de o sistema linear abaixo é incompativel?
Escolha uma opção:
a. Apenas se
b. Para nenhum valor de .
c. Para qualquer valor .
d. Apenas se
e. Para qualquer valor de .
Encontre todas as soluções do sistema
Resposta:
Aplique o método de Gauss-Jordan para resolver os seguintes sistemas:
(b) .