Indique TODAS as alternativas corretas. Atenção: cada resposta incorreta anula uma correta. a. Se , então o sistema é impossivel b. Se , então o sistema é possivel e determinado c. Se , então o sistema é impossivel d. Se , então o sistema é possivel e determinado e. Se , então o sistema é possivel e indeterminado f. Se , então o sistema é possivel e determinado g. Se , então o sistema é possivel e indeterminado
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse sistema linear que você trouxe:
Aqui, a gente está lidando com equações lineares com duas incógnitas, e . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de o sistema tem solução e que tipo de solução ele tem (determinado, indeterminado ou impossível). Para isso, vamos precisar entender como resolver sistemas lineares e identificar se eles são consistentes ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para resolver um sistema linear com duas equações e duas incógnitas, podemos usar o método da substituição, da eliminação ou analisar o determinante da matriz dos coeficientes.
Vamos reescrever o sistema de forma mais simples:
→ Equação (1)
→ Equação (2)
Vamos resolver a Equação (1) para uma das incógnitas. Vamos isolar :
Agora, substituímos esse valor de na Equação (2):
Simplificando:
Combinar os termos com :
Isolando :
Então:
E substituindo de volta na Equação (1):
Agora temos expressões para e em termos de . Vamos analisar o que isso significa para diferentes valores de .
Passo 3
Vamos analisar cada alternativa uma por uma:
a. Se , então o sistema é impossível
Primeiro, calculamos :
Quando , .
Isso faz com que o denominador de seja zero, o que indica que o sistema pode ser impossível ou indeterminado. Para verificar, substituímos nas equações originais:
→ → Dividindo por 2:
Agora temos:
e , o que é impossível porque uma mesma soma não pode ser igual a dois valores diferentes. Portanto, a alternativa a está correta.
b. Se , então o sistema é possível e determinado
Se , então ou .
Nesse caso, , então o denominador não é zero. Isso significa que existe uma solução única para e, consequentemente, para . Portanto, o sistema é possível e determinado. A alternativa b está correta.
c. Se , então o sistema é impossível
Vamos verificar:
Calculando : .
Como o denominador é zero, o sistema pode ser impossível ou indeterminado. Substituindo nas equações originais:
→ → Dividindo por 2:
Agora temos:
e
Novamente, isso é impossível porque a mesma soma não pode ter valores diferentes. Portanto, a alternativa c está correta.
d. Se , então o sistema é possível e determinado
Calculando : .
Com o denominador não nulo, o sistema tem uma solução única. Portanto, o sistema é possível e determinado. A alternativa d está correta.
e. Se , então o sistema é possível e indeterminado
Já vimos que para , o sistema é impossível. Portanto, a alternativa e está incorreta.
f. Se , então o sistema é possível e determinado
Para , vimos que o sistema é impossível. Portanto, a alternativa f está incorreta.
g. Se , então o sistema é possível e indeterminado
Novamente, para , o sistema é impossível. Logo, a alternativa g está incorreta.