Considere o Sistema Linear abaixo:
Indique TODAS as alternativas corretas. Atenção: cada resposta incorreta anula uma correta.
a. Se
, então o sistema é impossivel
b. Se
, então o sistema é possivel e determinado
c. Se
, então o sistema é impossivel
d. Se
, então o sistema é possivel e determinado
e. Se
, então o sistema é possivel e indeterminado
f. Se
, então o sistema é possivel e determinado
g. Se
, então o sistema é possivel e indeterminado
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse sistema linear que você trouxe:
Aqui, a gente está lidando com equações lineares com duas incógnitas,
e
. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de
o sistema tem solução e que tipo de solução ele tem (determinado, indeterminado ou impossível). Para isso, vamos precisar entender como resolver sistemas lineares e identificar se eles são consistentes ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para resolver um sistema linear com duas equações e duas incógnitas, podemos usar o método da substituição, da eliminação ou analisar o determinante da matriz dos coeficientes.
Vamos reescrever o sistema de forma mais simples:
-
→ Equação (1) -
→ Equação (2)
Vamos resolver a Equação (1) para uma das incógnitas. Vamos isolar
:
Agora, substituímos esse valor de
na Equação (2):
Simplificando:
Combinar os termos com
:
Isolando
:
Então:
E substituindo
de volta na Equação (1):
Agora temos expressões para
e
em termos de
. Vamos analisar o que isso significa para diferentes valores de
.
Passo 3
Vamos analisar cada alternativa uma por uma:
a. Se
, então o sistema é impossível
Primeiro, calculamos
:
Quando
,
.
Isso faz com que o denominador de
seja zero, o que indica que o sistema pode ser impossível ou indeterminado. Para verificar, substituímos
nas equações originais:
-
-
→ → Dividindo por 2:
Agora temos:
b. Se
, então o sistema é possível e determinado
Se
, então
ou
.
Nesse caso,
, então o denominador não é zero. Isso significa que existe uma solução única para
e, consequentemente, para
. Portanto, o sistema é possível e determinado. A alternativa b está correta.
c. Se
, então o sistema é impossível
Vamos verificar:
Calculando
:
.
Como o denominador é zero, o sistema pode ser impossível ou indeterminado. Substituindo
nas equações originais:
-
-
→ → Dividindo por 2:
Agora temos:
Novamente, isso é impossível porque a mesma soma não pode ter valores diferentes. Portanto, a alternativa c está correta.
d. Se
, então o sistema é possível e determinado
Calculando
:
.
Com o denominador não nulo, o sistema tem uma solução única. Portanto, o sistema é possível e determinado. A alternativa d está correta.
e. Se
, então o sistema é possível e indeterminado
Já vimos que para
, o sistema é impossível. Portanto, a alternativa e está incorreta.
f. Se
, então o sistema é possível e determinado
Para
, vimos que o sistema é impossível. Portanto, a alternativa f está incorreta.
g. Se
, então o sistema é possível e indeterminado
Novamente, para
, o sistema é impossível. Logo, a alternativa g está incorreta.
Resposta
As alternativas corretas são a, b, c e d.