Aplique o método de Gauss-Jordan para resolver os seguintes sistemas:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. A matéria que estamos mexendo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente técnicas de resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar montar a matriz aumentada do sistema e aplicar operações nas linhas para chegar à solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa que colocamos os coeficientes das variáveis e os termos independentes em uma única matriz. O sistema que temos é:
A matriz aumentada fica assim:
Passo 3
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, chamada de forma escalonada reduzida, onde fica fácil identificar os valores das variáveis. Para isso, vamos usar operações elementares nas linhas: trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha de outra.
Passo 4
Vamos começar eliminando o primeiro elemento da segunda e terceira linhas. Para a segunda linha, vamos subtrair 3 vezes a primeira linha dela. E para a terceira linha, vamos subtrair a primeira linha dela.
Operação na segunda linha:
Operação na terceira linha:
Aplicando isso:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os elementos por 4, para que o coeficiente de fique igual a 1. Isso facilita nas etapas seguintes.
Operação na segunda linha:
Resultado:
Passo 6
Vamos agora eliminar o coeficiente de na terceira linha. Para isso, vamos subtrair 2 vezes a segunda linha da terceira linha.
Operação na terceira linha:
Aplicando:
Passo 7
Observamos que a terceira linha se reduziu a , o que significa que o sistema tem infinitas soluções. Vamos então expressar uma das variáveis em termos das outras. Geralmente, escolhemos uma variável livre, digamos , onde pode ser qualquer número real.
Passo 8
Vamos expressar em termos de usando a segunda linha. A equação correspondente é:
Substituindo :
Passo 9
Agora, vamos expressar em termos de usando a primeira linha:
Substituindo e :
Resposta
As soluções do sistema são dadas em função de , onde é qualquer número real. Assim, temos: