Aplique o método de Gauss-Jordan para resolver os seguintes sistemas:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. A matéria que estamos mexendo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente técnicas de resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar montar a matriz aumentada do sistema e aplicar operações nas linhas para chegar à solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa que colocamos os coeficientes das variáveis e os termos independentes em uma única matriz. O sistema que temos é:
A matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, chamada de forma escalonada reduzida, onde fica fácil identificar os valores das variáveis. Para isso, vamos usar operações elementares nas linhas: trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha de outra.

Passo 4

Vamos começar eliminando o primeiro elemento da segunda e terceira linhas. Para a segunda linha, vamos subtrair 3 vezes a primeira linha dela. E para a terceira linha, vamos subtrair a primeira linha dela.
Operação na segunda linha:
Operação na terceira linha:
Aplicando isso:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os elementos por 4, para que o coeficiente de fique igual a 1. Isso facilita nas etapas seguintes.
Operação na segunda linha:
Resultado:

Passo 6

Vamos agora eliminar o coeficiente de na terceira linha. Para isso, vamos subtrair 2 vezes a segunda linha da terceira linha.
Operação na terceira linha:
Aplicando:

Passo 7

Observamos que a terceira linha se reduziu a , o que significa que o sistema tem infinitas soluções. Vamos então expressar uma das variáveis em termos das outras. Geralmente, escolhemos uma variável livre, digamos , onde pode ser qualquer número real.

Passo 8

Vamos expressar em termos de usando a segunda linha. A equação correspondente é:
Substituindo :

Passo 9

Agora, vamos expressar em termos de usando a primeira linha:
Substituindo e :

Resposta

As soluções do sistema são dadas em função de , onde é qualquer número real. Assim, temos:
Ou, de forma mais compacta:

Exercícios relacionados

Resolva os sistemas abaixo utilizando o método de Gauss-Jordan:
(b)
Para quais valores de k o sistema linear c) tem infinitas soluções.
Encontrar os valores de tal que o sistema homogêneo
tenha solução não trivial.
Calcule sendo e .