Aplique o método de Gauss-Jordan para resolver os seguintes sistemas:
(a) lx1-x2+2 x3=4 3 x1+x2+4 x3=6 x1+x2+x3=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. A matéria que estamos mexendo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente técnicas de resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar montar a matriz aumentada do sistema e aplicar operações nas linhas para chegar à solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa que colocamos os coeficientes das variáveis e os termos independentes em uma única matriz. O sistema que temos é:
x1 - x2 + 2x3 = 4 3x1 + x2 + 4x3 = 6 x1 + x2 + x3 = 1
A matriz aumentada fica assim:
1 & -1 & 2 & | & 4 3 & 1 & 4 & | & 6 1 & 1 & 1 & | & 1

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, chamada de forma escalonada reduzida, onde fica fácil identificar os valores das variáveis. Para isso, vamos usar operações elementares nas linhas: trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha de outra.

Passo 4

Vamos começar eliminando o primeiro elemento da segunda e terceira linhas. Para a segunda linha, vamos subtrair 3 vezes a primeira linha dela. E para a terceira linha, vamos subtrair a primeira linha dela.
Operação na segunda linha: 1 & -1 & 2 & | & 4 0 & 4 & -2 & | & -6 0 & 2 & -1 & | & -3
Operação na terceira linha:
Aplicando isso:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os elementos por 4, para que o coeficiente de 1 & -1 & 2 & | & 4 0 & 1 & -12 & | & -32 0 & 2 & -1 & | & -3 fique igual a 1. Isso facilita nas etapas seguintes.
Operação na segunda linha:
Resultado:

Passo 6

Vamos agora eliminar o coeficiente de 1 & -1 & 2 & | & 4 0 & 1 & -12 & | & -32 0 & 0 & 0 & | & 0 na terceira linha. Para isso, vamos subtrair 2 vezes a segunda linha da terceira linha.
Operação na terceira linha:
Aplicando:

Passo 7

Observamos que a terceira linha se reduziu a , o que significa que o sistema tem infinitas soluções. Vamos então expressar uma das variáveis em termos das outras. Geralmente, escolhemos uma variável livre, digamos , onde pode ser qualquer número real.

Passo 8

Vamos expressar x2 - 12x3 = -32 em termos de x2 - 12t = -32 x2 = -32 + 12t usando a segunda linha. A equação correspondente é:
Substituindo :

Passo 9

Agora, vamos expressar x1 - x2 + 2x3 = 4 em termos de x1 - (-32 + 12t) + 2t = 4 x1 + 32 - 12t + 2t = 4 x1 + 32 + 32t = 4 x1 = 4 - 32 - 32t x1 = 52 - 32t usando a primeira linha:
Substituindo e :

Resposta

As soluções do sistema são dadas em função de x1 = 52 - 32t x2 = -32 + 12t x3 = t , onde (x1, x2, x3) = ( 52 - 32t, -32 + 12t, t ) onde t in R é qualquer número real. Assim, temos:
Ou, de forma mais compacta:

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