Resolva os sistemas abaixo utilizando o método de Gauss-Jordan:
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. O enunciado nos dá duas equações com quatro incógnitas: , , e . Para resolver isso, vamos precisar organizar essas equações em uma matriz aumentada e usar operações de linha para simplificar até chegar à solução. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de matriz aumentada. Cada linha representa uma equação, e cada coluna representa os coeficientes das variáveis , , , e o termo constante.
Passo 3
Agora, nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, chamada de forma reduzida por linhas. Para isso, vamos usar operações de linha, que incluem trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha de outra.
Vamos começar eliminando o coeficiente na primeira coluna da segunda linha. Para isso, subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha.
Calculando:
Então, a nova matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos focar na segunda linha para facilitar a resolução. Observamos que na segunda linha, o coeficiente de é 1, então podemos usá-lo para eliminar os coeficientes de na primeira linha.
Para isso, somamos 3 vezes a segunda linha à primeira linha:
Calculando:
A matriz atualizada fica:
Passo 5
Agora, temos duas equações simplificadas:
Percebemos que temos mais incógnitas do que equações, então vamos parametrizar algumas variáveis. Vamos escolher e como parâmetros, pois elas não estão totalmente determinadas pelas equações.
Passo 6
Vamos expressar e em termos de e :
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Passo 7
Então, as soluções do sistema podem ser escritas em função dos parâmetros e . Isso significa que há infinitas soluções, dependendo dos valores que assumirmos para e .
Resposta
As soluções do sistema são:
Ou seja, para qualquer valor escolhido de e , podemos encontrar e correspondentes que satisfazem o sistema.