Encontrar os valores de tal que o sistema homogêneo
tenha solução não trivial.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares homogêneo com três equações e três incógnitas (, , ). O objetivo é encontrar os valores de para os quais esse sistema tem uma solução não trivial, ou seja, soluções onde pelo menos uma das variáveis é diferente de zero.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares homogêneos e determinantes de matrizes. Precisaremos montar a matriz dos coeficientes do sistema e calcular seu determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema. O sistema dado é:
A matriz dos coeficientes é:
Passo 3
Para que o sistema tenha soluções não triviais, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser igual a zero. Isso porque, se o determinante for diferente de zero, a única solução possível é a trivial ().
Então, vamos calcular o determinante de e igualá-lo a zero:
Passo 4
Vamos calcular o determinante da matriz :
Usando a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace, vamos calcular:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Agora vamos continuar simplificando:
Passo 6
Temos que o determinante é igual a:
Vamos fatorar esse polinômio:
Fatorando o polinômio quadrático:
Passo 7
Para que o determinante seja zero, pelo produto ser igual a zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
Resolvendo cada equação:
Resposta
Os valores de que tornam o sistema homogêneo ter solução não trivial são , e .