Encontrar os valores de tal que o sistema homogêneo
tenha solução não trivial.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares homogêneo com três equações e três incógnitas (x, y, z). O objetivo é encontrar os valores de alpha para os quais esse sistema tem uma solução não trivial, ou seja, soluções onde pelo menos uma das variáveis é diferente de zero.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares homogêneos e determinantes de matrizes. Precisaremos montar a matriz dos coeficientes do sistema e calcular seu determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema. O sistema dado é:
x + 3y + (1 - alpha)z = 0 x + alpha y - z = 0 (2 - alpha)x + 3y = 0
Para que o sistema tenha soluções não triviais, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser igual a zero. Isso porque, se o determinante for diferente de zero, a única solução possível é a trivial (x = y = z = 0).
Então, vamos calcular o determinante de A e igualá-lo a zero: