Encontrar os valores de tal que o sistema homogêneo
tenha solução não trivial.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares homogêneo com três equações e três incógnitas ( , , ). O objetivo é encontrar os valores de para os quais esse sistema tem uma solução não trivial, ou seja, soluções onde pelo menos uma das variáveis é diferente de zero.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares homogêneos e determinantes de matrizes. Precisaremos montar a matriz dos coeficientes do sistema e calcular seu determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema. O sistema dado é:
A matriz dos coeficientes é:

Passo 3

Para que o sistema tenha soluções não triviais, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser igual a zero. Isso porque, se o determinante for diferente de zero, a única solução possível é a trivial ( ).
Então, vamos calcular o determinante de e igualá-lo a zero:

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz :
Usando a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace, vamos calcular:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Agora vamos continuar simplificando:

Passo 6

Temos que o determinante é igual a:
Vamos fatorar esse polinômio:
Fatorando o polinômio quadrático:

Passo 7

Para que o determinante seja zero, pelo produto ser igual a zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
Resolvendo cada equação:

Resposta

Os valores de que tornam o sistema homogêneo ter solução não trivial são , e .

Exercícios relacionados

Aplique o método de Gauss-Jordan para resolver os seguintes sistemas:
(a)
Resolva os sistemas abaixo utilizando o método de Gauss-Jordan:
(b)
Calcule sendo e .
Resolver os sistemas abaixo utilizando o método de Gauss:
(b)