Encontrar os valores de alpha tal que o sistema homogêneo
cc x+3 y+(1-alpha) z & =0 x+alpha y-z & =0 (2-alpha) x+3 y & =0
tenha solução não trivial.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares homogêneo com três equações e três incógnitas ( x, y, z). O objetivo é encontrar os valores de alpha para os quais esse sistema tem uma solução não trivial, ou seja, soluções onde pelo menos uma das variáveis é diferente de zero.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares homogêneos e determinantes de matrizes. Precisaremos montar a matriz dos coeficientes do sistema e calcular seu determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema. O sistema dado é:
x + 3y + (1 - alpha)z = 0 x + alpha y - z = 0 (2 - alpha)x + 3y = 0
A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 3 & 1 - alpha 1 & alpha & -1 2 - alpha & 3 & 0

Passo 3

Para que o sistema tenha soluções não triviais, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser igual a zero. Isso porque, se o determinante for diferente de zero, a única solução possível é a trivial ( x = y = z = 0).
Então, vamos calcular o determinante de A e igualá-lo a zero:
det(A) = 0

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz A:
det(A) = 1 & 3 & 1 - alpha 1 & alpha & -1 2 - alpha & 3 & 0
Usando a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace, vamos calcular:
det(A) = 1 cdot (alpha cdot 0 - (-1) cdot 3) - 3 cdot (1 cdot 0 - (-1) cdot (2 - alpha)) + (1 - alpha) cdot (1 cdot 3 - alpha cdot (2 - alpha))
Simplificando cada termo:
= 1 cdot (0 + 3) - 3 cdot (0 + (2 - alpha)) + (1 - alpha) cdot (3 - alpha(2 - alpha))
= 3 - 3(2 - alpha) + (1 - alpha)(3 - 2alpha + alpha^2)

Passo 5

Agora vamos continuar simplificando:
= 3 - 6 + 3alpha + (1 - alpha)(alpha^2 - 2alpha + 3)
= -3 + 3alpha + (1 cdot alpha^2 - 1 cdot 2alpha + 1 cdot 3 - alpha cdot alpha^2 + alpha cdot 2alpha - alpha cdot 3)
= -3 + 3alpha + (alpha^2 - 2alpha + 3 - alpha^3 + 2alpha^2 - 3alpha)
= -3 + 3alpha + (-alpha^3 + 3alpha^2 - 5alpha + 3)
= -alpha^3 + 3alpha^2 - 2alpha

Passo 6

Temos que o determinante é igual a:
-alpha^3 + 3alpha^2 - 2alpha = 0
Vamos fatorar esse polinômio:
-alpha(alpha^2 - 3alpha + 2) = 0
Fatorando o polinômio quadrático:
-alpha(alpha - 1)(alpha - 2) = 0

Passo 7

Para que o determinante seja zero, pelo produto ser igual a zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
-alpha = 0 ou (alpha - 1) = 0 ou (alpha - 2) = 0
Resolvendo cada equação:
alpha = 0 ou alpha = 1 ou alpha = 2

Resposta

Os valores de alpha que tornam o sistema homogêneo ter solução não trivial são alpha = 0, alpha = 1 e alpha = 2.

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