Aplique o método de Gram-Schmidt ao conjunto
para obter uma base ortogonal
de
.
Passo 1
Então, temos um exercício de Álgebra Linear onde precisamos aplicar o método de Gram-Schmidt ao conjunto de três vetores
para obter uma base ortogonal
no espaço
. O método de Gram-Schmidt serve para transformar um conjunto de vetores que são linearmente independentes em um conjunto de vetores que são ortogonais entre si. Para isso, vamos precisar entender como calcular projeções de vetores e como subtrair essas projeções para obter vetores ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o primeiro vetor da nossa base ortogonal. Simplesmente pegamos o primeiro vetor do conjunto original:
Como ainda não temos nenhum outro vetor na nossa base, não precisamos ajustar
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o segundo vetor ortogonal
. Para isso, pegamos o segundo vetor original
e subtraímos a projeção de
sobre
. A projeção de um vetor
sobre um vetor
é dada por:
Assim, calculamos:
Isso garante que
seja ortogonal a
.
Passo 4
Por fim, vamos determinar o terceiro vetor ortogonal
. Pegamos o terceiro vetor original
e subtraímos as projeções de
sobre ambos
e
. As projeções são:
Então, calculamos:
Isso assegura que
seja ortogonal tanto a
quanto a
.
Resposta
Após aplicar o método de Gram-Schmidt, a base ortogonal
em
é dada por:
Essa é a base ortogonal procurada no espaço
.