Aplique o método de Gram-Schmidt ao conjunto V1, V2, V3 para obter uma base ortogonal W1, W2, W3 de R^3.

Passo 1

Então, temos um exercício de Álgebra Linear onde precisamos aplicar o método de Gram-Schmidt ao conjunto de três vetores V1, V2, V3 para obter uma base ortogonal W1, W2, W3 no espaço R^3. O método de Gram-Schmidt serve para transformar um conjunto de vetores que são linearmente independentes em um conjunto de vetores que são ortogonais entre si. Para isso, vamos precisar entender como calcular projeções de vetores e como subtrair essas projeções para obter vetores ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o primeiro vetor da nossa base ortogonal. Simplesmente pegamos o primeiro vetor do conjunto original:
W1 = V1
Como ainda não temos nenhum outro vetor na nossa base, não precisamos ajustar W1.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o segundo vetor ortogonal W2. Para isso, pegamos o segundo vetor original V2 e subtraímos a projeção de V2 sobre W1. A projeção de um vetor A sobre um vetor B é dada por:
Assim, calculamos:
Isso garante que projW1 V2 = V2 cdot W1W1 cdot W1 W1 seja ortogonal a W2 = V2 - projW1 V2 = V2 - V2 cdot W1W1 cdot W1 W1 .

Passo 4

Por fim, vamos determinar o terceiro vetor ortogonal W3. Pegamos o terceiro vetor original V3 e subtraímos as projeções de V3 sobre ambos W1 e W2. As projeções são:
Então, calculamos:
Isso assegura que projW1 V3 = V3 cdot W1W1 cdot W1 W1 seja ortogonal tanto a projW2 V3 = V3 cdot W2W2 cdot W2 W2 quanto a W3 = V3 - projW1 V3 - projW2 V3 = V3 - V3 cdot W1W1 cdot W1 W1 - V3 cdot W2W2 cdot W2 W2 .

Resposta

Após aplicar o método de Gram-Schmidt, a base ortogonal W1, W2, W3 em R^3 é dada por:
Essa é a base ortogonal procurada no espaço W1 = V1 W2 = V2 - dfracV2 cdot W1W1 cdot W1 W1 W3 = V3 - dfracV3 cdot W1W1 cdot W1 W1 - dfracV3 cdot W2W2 cdot W2 W2 .

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