Seja , o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 3 .
a) Mostre que é base de .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3. Queremos mostrar que o conjunto é uma base para . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de independência linear e dimensão do espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores (neste caso, os polinômios) em são linearmente independentes. Isso significa que não existe uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor zero, a não ser que todos os coeficientes sejam zero.
Passo 3
Vamos escrever uma combinação linear dos polinômios em igual a zero:
Isso nos dá:
Passo 4
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero:
Resolvendo esse sistema:
Da terceira equação: c = 0
Da quarta equação: d = 0
Substituindo c e d na segunda equação: b = 0
Finalmente, substituindo b na primeira equação: a = 0
Passo 5
Como a única solução para esse sistema é a = b = c = d = 0, concluímos que os polinômios em B são linearmente independentes.
Passo 6
Sabemos que P3(R) é um espaço vetorial de dimensão 4 (porque temos polinômios até o grau 3). Como o conjunto B possui exatamente 4 polinômios e eles são linearmente independentes, Bgera o espaço V.
Resposta
Portanto, o conjunto B = 1,, 2+x,, 3x - x^2,, x - x^3 é uma base de V.