Seja V=P3(R), o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 3 .
a) Mostre que B=1,2+x, 3 x-x^2, x-x^3 é base de V.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos V = P3(R), que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3. Queremos mostrar que o conjunto B = 1,, 2+x,, 3x - x^2,, x - x^3 é uma base para V. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de independência linear e dimensão do espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores (neste caso, os polinômios) em B são linearmente independentes. Isso significa que não existe uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor zero, a não ser que todos os coeficientes sejam zero.

Passo 3

Vamos escrever uma combinação linear dos polinômios em B igual a zero:
a cdot 1 + b cdot (2 + x) + c cdot (3x - x^2) + d cdot (x - x^3) = 0
Isso nos dá:
a + 2b + (b + 3c + d)x + (-c)x^2 + (-d)x^3 = 0

Passo 4

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo x, os coeficientes de cada potência de x devem ser iguais a zero:
a + 2b = 0 b + 3c + d = 0 -c = 0 -d = 0
Resolvendo esse sistema:
  • Da terceira equação: c = 0
  • Da quarta equação: d = 0
  • Substituindo c e d na segunda equação: b = 0
  • Finalmente, substituindo b na primeira equação: a = 0

Passo 5

Como a única solução para esse sistema é a = b = c = d = 0, concluímos que os polinômios em B são linearmente independentes.

Passo 6

Sabemos que P3(R) é um espaço vetorial de dimensão 4 (porque temos polinômios até o grau 3). Como o conjunto B possui exatamente 4 polinômios e eles são linearmente independentes, B gera o espaço V.

Resposta

Portanto, o conjunto B = 1,, 2+x,, 3x - x^2,, x - x^3 é uma base de V.

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