Escreva os vetores como combinação linear dos vetores e dados a seguir:
de ; onde .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz de tamanho e queremos escrevê-la como uma combinação linear das matrizes , e . Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Uma combinação linear significa multiplicar cada matriz por um número (que vamos chamar de coeficiente) e somar os resultados. Então, queremos encontrar números , e tais que:
Passo 3
Vamos substituir os valores das matrizes na equação:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar cada matriz pelo seu respectivo coeficiente:
Passo 5
Para que as duas matrizes sejam iguais, cada elemento correspondente deve ser igual. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, subtraímos a primeira equação da segunda:
(a + 2b + c) - (a + b + c) = 7 - 4 b = 3
Passo 7
Agora que sabemos que b = 3, substituímos esse valor na primeira equação:
a + 3 + c = 4 a + c = 1
Passo 8
Substituímos b = 3 na terceira equação:
a + 3 cdot 3 + 4c = 7 a + 9 + 4c = 7 a + 4c = -2
Passo 9
Agora temos duas equações com duas incógnitas:
a + c = 1 a + 4c = -2
Subtraímos a primeira da segunda:
(a + 4c) - (a + c) = -2 - 1 3c = -3 c = -1
Passo 10
Com c = -1, voltamos à primeira equação:
a + (-1) = 1 a = 2
Resposta
Encontramos que a = 2, b = 3 e c = -1. Portanto, a combinação linear é: