Escreva os vetores v como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3 dados a seguir:
  • v=[cc4 & 7 7 & 9] de M2(R); onde v1=[cc1 & 1 1 & 1] ; v2[ll1 & 2 3 & 4] ; v3=[ll1 & 1 4 & 5].

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz v de tamanho 2 times 2 e queremos escrevê-la como uma combinação linear das matrizes v1, v2 e v3. Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Uma combinação linear significa multiplicar cada matriz vi por um número (que vamos chamar de coeficiente) e somar os resultados. Então, queremos encontrar números a, b e c tais que:
v = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3

Passo 3

Vamos substituir os valores das matrizes na equação:
4 & 7 7 & 9 = a cdot 1 & 1 1 & 1 + b cdot 1 & 2 3 & 4 + c cdot 1 & 1 4 & 5

Passo 4

Agora, vamos multiplicar cada matriz pelo seu respectivo coeficiente:
4 & 7 7 & 9 = a + b + c & a + 2b + c a + 3b + 4c & a + 4b + 5c

Passo 5

Para que as duas matrizes sejam iguais, cada elemento correspondente deve ser igual. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + b + c = 4 a + 2b + c = 7 a + 3b + 4c = 7 a + 4b + 5c = 9

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, subtraímos a primeira equação da segunda:
(a + 2b + c) - (a + b + c) = 7 - 4 b = 3

Passo 7

Agora que sabemos que b = 3, substituímos esse valor na primeira equação:
a + 3 + c = 4 a + c = 1

Passo 8

Substituímos b = 3 na terceira equação:
a + 3 cdot 3 + 4c = 7 a + 9 + 4c = 7 a + 4c = -2

Passo 9

Agora temos duas equações com duas incógnitas:
a + c = 1 a + 4c = -2
Subtraímos a primeira da segunda:
(a + 4c) - (a + c) = -2 - 1 3c = -3 c = -1

Passo 10

Com c = -1, voltamos à primeira equação:
a + (-1) = 1 a = 2

Resposta

Encontramos que a = 2, b = 3 e c = -1. Portanto, a combinação linear é:
v = 2 cdot v1 + 3 cdot v2 - 1 cdot v3

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