Dado o espaço vetorial , determine uma base e dimensão de cada um dos subespaços de a seguir:
d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o espaço vetorial e um subespaço gerado pelos vetores e . Nosso objetivo é encontrar uma base para e determinar a sua dimensão.
Passo 2
Para encontrar uma base de , precisamos identificar um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que gere. Se os vetores que geram já forem linearmente independentes, eles formam uma base.
Passo 3
Vamos verificar se os vetores e são linearmente independentes. Para isso, consideramos uma combinação linear igual a zero:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema, vemos que e . Como a única solução é a trivial, isso significa que os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Como os vetores e são linearmente independentes e geram , eles formam uma base para . Além disso, como temos dois vetores na base, a dimensão de é 2.