Dado o espaço vetorial V, determine uma base e dimensão de cada um dos subespaços de V a seguir:
d) V=R^3, W=[(1,1,0),(0,0,2)]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o espaço vetorial e um subespaço gerado pelos vetores e . Nosso objetivo é encontrar uma base para e determinar a sua dimensão.

Passo 2

Para encontrar uma base de , precisamos identificar um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que gere . Se os vetores que geram já forem linearmente independentes, eles formam uma base.

Passo 3

Vamos verificar se os vetores a(1,1,0) + b(0,0,2) = (0,0,0) e a = 0 a = 0 2b = 0 são linearmente independentes. Para isso, consideramos uma combinação linear igual a zero:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema, vemos que e . Como a única solução é a trivial, isso significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como os vetores e são linearmente independentes e geram , eles formam uma base para . Além disso, como temos dois vetores na base, a dimensão de é 2.

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é 2.

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