Aplique o Método de Newton e o Método da Secante para:
(b) Encontrar uma aproximação para a raiz de no intervalo com . Use 7 dígitos significativos e arredondamento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar uma aproximação para a raiz da função no intervalo usando dois métodos: o Método de Newton e o Método da Secante. A gente vai precisar entender como cada método funciona e aplicar as fórmulas passo a passo até chegar a uma resposta com uma diferença menor que entre as aproximações. Vamos lá!
Passo 2
Método de Newton
Primeiro, vamos usar o Método de Newton. Esse método usa a derivada da função para aproximar a raiz. A fórmula é:
Aqui, é a derivada de . Vamos calcular:
Vamos escolher uma estimativa inicial dentro do intervalo, digamos .
Passo 3
Calculando e :
Agora, aplicamos a fórmula de Newton:
Passo 4
Mas olha só, está fora do nosso intervalo . Isso significa que precisamos escolher outro ponto inicial. Vamos tentar .
Calculando e :
Aplicando a fórmula de Newton:
Passo 5
Agora, vamos calcular a próxima iteração com :
Aplicando novamente a fórmula:
A diferença entre e é cerca de , que é menor que . Então, podemos parar aqui para o Método de Newton.
Passo 6
Método da Secante
Agora, vamos usar o Método da Secante. Esse método não precisa da derivada e usa duas estimativas iniciais. A fórmula é:
Vamos escolher e .
Passo 7
Calculando e :
Aplicando a fórmula da Secante para encontrar :
Passo 8
Agora, calculamos e aplicamos novamente a fórmula:
A diferença entre e é cerca de , que ainda é maior que , então precisamos iterar mais.
Passo 9
Repetindo o processo:
Diferença de , ainda maior que .
Passo 10
Mais uma iteração:
A diferença entre e é aproximadamente , que está perto de . Vamos fazer mais uma iteração para garantir.
Passo 11
Finalizando:
Agora, a diferença é menor que , então podemos parar aqui para o Método da Secante.
Resposta
Aproximação da raiz da função no intervalo é aproximadamente usando o Método de Newton e usando o Método da Secante.