Aplique o Método de Newton e o Método da Secante para:
(b) Encontrar uma aproximação para a raiz de
no intervalo
com
. Use 7 dígitos significativos e arredondamento.
(b) Encontrar uma aproximação para a raiz de
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar uma aproximação para a raiz da função
no intervalo
usando dois métodos: o Método de Newton e o Método da Secante. A gente vai precisar entender como cada método funciona e aplicar as fórmulas passo a passo até chegar a uma resposta com uma diferença menor que
entre as aproximações. Vamos lá!
Passo 2
Método de Newton
Primeiro, vamos usar o Método de Newton. Esse método usa a derivada da função para aproximar a raiz. A fórmula é:
Aqui,
é a derivada de
. Vamos calcular:
Vamos escolher uma estimativa inicial dentro do intervalo, digamos
.
Passo 3
Calculando
e
:
Agora, aplicamos a fórmula de Newton:
Passo 4
Mas olha só,
está fora do nosso intervalo
. Isso significa que precisamos escolher outro ponto inicial. Vamos tentar
.
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula de Newton:
Passo 5
Agora, vamos calcular a próxima iteração com
:
Aplicando novamente a fórmula:
A diferença entre
e
é cerca de
, que é menor que
. Então, podemos parar aqui para o Método de Newton.
Passo 6
Método da Secante
Agora, vamos usar o Método da Secante. Esse método não precisa da derivada e usa duas estimativas iniciais. A fórmula é:
Vamos escolher
e
.
Passo 7
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula da Secante para encontrar
:
Passo 8
Agora, calculamos
e aplicamos novamente a fórmula:
A diferença entre
e
é cerca de
, que ainda é maior que
, então precisamos iterar mais.
Passo 9
Repetindo o processo:
Diferença de
, ainda maior que
.
Passo 10
Mais uma iteração:
A diferença entre
e
é aproximadamente
, que está perto de
. Vamos fazer mais uma iteração para garantir.
Passo 11
Finalizando:
Agora, a diferença é menor que
, então podemos parar aqui para o Método da Secante.
Resposta
Aproximação da raiz da função
no intervalo
é aproximadamente
usando o Método de Newton e
usando o Método da Secante.