Aplique o Método de Newton e o Método da Secante para:
(b) Encontrar uma aproximação para a raiz de no intervalo com . Use 7 dígitos significativos e arredondamento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar uma aproximação para a raiz da função no intervalo usando dois métodos: o Método de Newton e o Método da Secante. A gente vai precisar entender como cada método funciona e aplicar as fórmulas passo a passo até chegar a uma resposta com uma diferença menor que entre as aproximações. Vamos lá!

Passo 2

Método de Newton
Primeiro, vamos usar o Método de Newton. Esse método usa a derivada da função para aproximar a raiz. A fórmula é:
Aqui, é a derivada de . Vamos calcular:
Vamos escolher uma estimativa inicial dentro do intervalo, digamos .

Passo 3

Calculando e :
Agora, aplicamos a fórmula de Newton:

Passo 4

Mas olha só, está fora do nosso intervalo . Isso significa que precisamos escolher outro ponto inicial. Vamos tentar .
Calculando e :
Aplicando a fórmula de Newton:

Passo 5

Agora, vamos calcular a próxima iteração com :
Aplicando novamente a fórmula:
A diferença entre e é cerca de , que é menor que . Então, podemos parar aqui para o Método de Newton.

Passo 6

Método da Secante
Agora, vamos usar o Método da Secante. Esse método não precisa da derivada e usa duas estimativas iniciais. A fórmula é:
Vamos escolher e .

Passo 7

Calculando e :
Aplicando a fórmula da Secante para encontrar :

Passo 8

Agora, calculamos e aplicamos novamente a fórmula:
A diferença entre e é cerca de , que ainda é maior que , então precisamos iterar mais.

Passo 9

Repetindo o processo:
Diferença de , ainda maior que .

Passo 10

Mais uma iteração:
A diferença entre e é aproximadamente , que está perto de . Vamos fazer mais uma iteração para garantir.

Passo 11

Finalizando:
Agora, a diferença é menor que , então podemos parar aqui para o Método da Secante.

Resposta

Aproximação da raiz da função no intervalo é aproximadamente usando o Método de Newton e usando o Método da Secante.

Exercícios relacionados

Aplique o Método de Newton e o Método da Secante para:
(a) Encontrar uma aproximação para a raiz de no intervalo com 7 dígitos significativos, usando arredondamento e erro relativo menor que .
Usando aproximação de Taylor, é possível verificar que a sequência obtida pelo Método de Newton satisfaz a seguinte relação:
em que é o zero de . Baseado nisso, o que ocorre com o método se a segunda derivada for muito maior que ? E se o erro absoluto inicial for maior que 1 ?
Escreva um algoritmo para achar a raiz da função com um erro absoluto máximo utilizando o método de Newton a partir de uma estimativa inicial . Escreva outro algoritmo com o método da Secante a partir de duas estimativas iniciais e .
Os algoritmos vistos em aula encontram a solução exata para o problema de Zero de função? Justifique sua resposta.