Aplique o Método de Newton e o Método da Secante para:
(b) Encontrar uma aproximação para a raiz de f(x)=x^2-sin (x) no intervalo [0.7,0.9] com |pn+1-pn|<10^-4. Use 7 dígitos significativos e arredondamento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar uma aproximação para a raiz da função no intervalo usando dois métodos: o Método de Newton e o Método da Secante. A gente vai precisar entender como cada método funciona e aplicar as fórmulas passo a passo até chegar a uma resposta com uma diferença menor que entre as aproximações. Vamos lá!

Passo 2

Método de Newton
Primeiro, vamos usar o Método de Newton. Esse método usa a derivada da função para aproximar a raiz. A fórmula é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, f'(x) = 2x - cos(x) é a derivada de . Vamos calcular:
Vamos escolher uma estimativa inicial dentro do intervalo, digamos .

Passo 3

Calculando f(0.7) = (0.7)^2 - sin(0.7) approx 0.49 - 0.6442 approx -0.1542 e f'(0.7) = 2(0.7) - cos(0.7) approx 1.4 - 0.7648 approx 0.6352 :
x1 = 0.7 - -0.15420.6352 approx 0.7 + 0.2423 approx 0.9423
Agora, aplicamos a fórmula de Newton:

Passo 4

Mas olha só, f(0.9) = (0.9)^2 - sin(0.9) approx 0.81 - 0.7833 approx 0.0267 está fora do nosso intervalo f'(0.9) = 2(0.9) - cos(0.9) approx 1.8 - 0.6216 approx 1.1784 . Isso significa que precisamos escolher outro ponto inicial. Vamos tentar x1 = 0.9 - 0.02671.1784 approx 0.9 - 0.0227 approx 0.8773 .
Calculando e :
Aplicando a fórmula de Newton:

Passo 5

Agora, vamos calcular a próxima iteração com f(0.8773) = (0.8773)^2 - sin(0.8773) approx 0.7693 - 0.7692 approx 0.0001 :
f'(0.8773) = 2(0.8773) - cos(0.8773) approx 1.7546 - 0.6390 approx 1.1156
x2 = 0.8773 - 0.00011.1156 approx 0.8773 - 0.00009 approx 0.8772
Aplicando novamente a fórmula:
A diferença entre e é cerca de , que é menor que . Então, podemos parar aqui para o Método de Newton.

Passo 6

Método da Secante
Agora, vamos usar o Método da Secante. Esse método não precisa da derivada e usa duas estimativas iniciais. A fórmula é:
xn+1 = xn - f(xn) cdot xn - xn-1f(xn) - f(xn-1)
Vamos escolher e .

Passo 7

Calculando f(0.7) approx -0.1542 e f(0.9) approx 0.0267 :
x2 = 0.9 - 0.0267 cdot 0.9 - 0.70.0267 - (-0.1542) approx 0.9 - 0.0267 cdot 0.20.1809 approx 0.9 - 0.0267 cdot 1.105 approx 0.9 - 0.0295 approx 0.8705
Aplicando a fórmula da Secante para encontrar :

Passo 8

Agora, calculamos f(0.8705) = (0.8705)^2 - sin(0.8705) approx 0.7574 - 0.7620 approx -0.0046 e aplicamos novamente a fórmula:
x3 = 0.8705 - (-0.0046) cdot 0.8705 - 0.9-0.0046 - 0.0267 approx 0.8705 + 0.0046 cdot -0.0295-0.0313 approx 0.8705 + 0.0046 cdot 0.943 approx 0.8705 + 0.0043 approx 0.8748
A diferença entre e é cerca de , que ainda é maior que , então precisamos iterar mais.

Passo 9

Repetindo o processo:
f(0.8748) approx (0.8748)^2 - sin(0.8748) approx 0.7652 - 0.7670 approx -0.0018
x4 = 0.8748 - (-0.0018) cdot 0.8748 - 0.8705-0.0018 - (-0.0046) approx 0.8748 + 0.0018 cdot 0.00430.0028 approx 0.8748 + 0.0018 cdot 1.536 approx 0.8748 + 0.0028 approx 0.8776
Diferença de , ainda maior que .

Passo 10

Mais uma iteração:
f(0.8776) approx (0.8776)^2 - sin(0.8776) approx 0.7702 - 0.7701 approx 0.0001
x5 = 0.8776 - 0.0001 cdot 0.8776 - 0.87480.0001 - (-0.0018) approx 0.8776 - 0.0001 cdot 0.00280.0019 approx 0.8776 - 0.0001 cdot 1.474 approx 0.8776 - 0.00015 approx 0.87745
A diferença entre e é aproximadamente , que está perto de . Vamos fazer mais uma iteração para garantir.

Passo 11

Finalizando:
f(0.87745) approx (0.87745)^2 - sin(0.87745) approx 0.7700 - 0.7700 approx 0.0000
x6 = 0.87745 - 0.0000 cdot 0.87745 - 0.87760.0000 - 0.0001 approx 0.87745
Agora, a diferença é menor que , então podemos parar aqui para o Método da Secante.

Resposta

Aproximação da raiz da função no intervalo é aproximadamente usando o Método de Newton e usando o Método da Secante.

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