Escreva um algoritmo para achar a raiz da função
com um erro absoluto máximo
utilizando o método de Newton a partir de uma estimativa inicial
. Escreva outro algoritmo com o método da Secante a partir de duas estimativas iniciais
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que você quer é criar dois algoritmos para encontrar a raiz de uma função
. Uma raiz é onde a função cruza o eixo
, ou seja,
. Vamos usar dois métodos diferentes para isso: o método de Newton e o método da Secante. Para ambos, vamos controlar o erro absoluto máximo, que é o quanto a nossa aproximação pode estar errada, representado por
. No método de Newton, precisamos de uma estimativa inicial
, e no método da Secante, precisamos de duas estimativas iniciais
e
.
Passo 2
Vamos começar com o método de Newton. Esse método é uma técnica bastante usada para encontrar raízes de funções e envolve derivadas. A ideia é usar a tangente da função em um ponto para aproximar a raiz.
Primeiro, precisamos da derivada da função
. A cada passo, atualizamos nossa estimativa
usando a fórmula:
Vamos repetir esse processo até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Passo 3
Agora, vamos escrever o algoritmo do método de Newton passo a passo:
- Entrada: Função
, sua derivada , estimativa inicial , e erro máximo . - Inicialização: Defina
. - Iteração:
- Calcule
e . - Atualize
. - Verifique se
. Se sim, pare. - Caso contrário, defina
e repita.
- Calcule
- Saída: A estimativa
como raiz aproximada.
Passo 4
Agora vamos para o método da Secante. Esse método é semelhante ao de Newton, mas não requer a derivada da função. Em vez disso, usa duas estimativas iniciais e a inclinação da linha que liga esses pontos para aproximar a raiz.
A fórmula para atualizar é:
Vamos atualizar
e
a cada iteração até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Passo 5
Vamos agora escrever o algoritmo do método da Secante:
- Entrada: Função
, estimativas iniciais e , e erro máximo . - Inicialização: Defina
e . - Iteração:
- Calcule
e . - Atualize
. - Verifique se
. Se sim, pare. - Caso contrário, defina
e , e repita.
- Calcule
- Saída: A estimativa
como raiz aproximada.
Resposta
Pronto! Agora você tem os algoritmos para encontrar a raiz de
usando o método de Newton com uma estimativa inicial
e o método da Secante com duas estimativas iniciais
e
, cada um respeitando um erro absoluto máximo
.
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Aplique o Método de Newton e o Método da Secante para:
(b) Encontrar uma aproximação para a raiz de no intervalo
com
. Use 7 dígitos significativos e arredondamento.
(b) Encontrar uma aproximação para a raiz de
Aplique o Método de Newton e o Método da Secante para:
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com 7 dígitos significativos, usando arredondamento e erro relativo menor que
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(a) Encontrar uma aproximação para a raiz de
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