Escreva um algoritmo para achar a raiz da função com um erro absoluto máximo utilizando o método de Newton a partir de uma estimativa inicial . Escreva outro algoritmo com o método da Secante a partir de duas estimativas iniciais e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que você quer é criar dois algoritmos para encontrar a raiz de uma função . Uma raiz é onde a função cruza o eixo , ou seja, . Vamos usar dois métodos diferentes para isso: o método de Newton e o método da Secante. Para ambos, vamos controlar o erro absoluto máximo, que é o quanto a nossa aproximação pode estar errada, representado por . No método de Newton, precisamos de uma estimativa inicial , e no método da Secante, precisamos de duas estimativas iniciais e .

Passo 2

Vamos começar com o método de Newton. Esse método é uma técnica bastante usada para encontrar raízes de funções e envolve derivadas. A ideia é usar a tangente da função em um ponto para aproximar a raiz.
Primeiro, precisamos da derivada da função . A cada passo, atualizamos nossa estimativa usando a fórmula:
Vamos repetir esse processo até que a diferença entre e seja menor que .

Passo 3

Agora, vamos escrever o algoritmo do método de Newton passo a passo:
  1. Entrada: Função , sua derivada , estimativa inicial , e erro máximo .
  2. Inicialização: Defina .
  3. Iteração:
    • Calcule e .
    • Atualize .
    • Verifique se . Se sim, pare.
    • Caso contrário, defina e repita.
  4. Saída: A estimativa como raiz aproximada.

Passo 4

Agora vamos para o método da Secante. Esse método é semelhante ao de Newton, mas não requer a derivada da função. Em vez disso, usa duas estimativas iniciais e a inclinação da linha que liga esses pontos para aproximar a raiz.
A fórmula para atualizar é:
Vamos atualizar e a cada iteração até que a diferença entre e seja menor que .

Passo 5

Vamos agora escrever o algoritmo do método da Secante:
  1. Entrada: Função , estimativas iniciais e , e erro máximo .
  2. Inicialização: Defina e .
  3. Iteração:
    • Calcule e .
    • Atualize .
    • Verifique se . Se sim, pare.
    • Caso contrário, defina e , e repita.
  4. Saída: A estimativa como raiz aproximada.

Resposta

Pronto! Agora você tem os algoritmos para encontrar a raiz de usando o método de Newton com uma estimativa inicial e o método da Secante com duas estimativas iniciais e , cada um respeitando um erro absoluto máximo .

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