Aplique o Método de Newton e o Método da Secante para:
(a) Encontrar uma aproximação para a raiz de f(x)=cos (x)-e^x no intervalo [-1.5,-1.2] com 7 dígitos significativos, usando arredondamento e erro relativo menor que 10^-5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma aproximação para a raiz da função no intervalo . Para isso, vamos usar dois métodos bem legais: o Método de Newton e o Método da Secante. Vamos precisar entender um pouco sobre esses métodos e aplicar passos iterativos para chegar pertinho da raiz com 7 dígitos significativos e um erro relativo menor que .

Passo 2

Método de Newton
Primeiro, vamos falar sobre o Método de Newton. Esse método é uma técnica para encontrar raízes de funções que usamos quando queremos uma aproximação mais rápida. Basicamente, ele usa a derivada da função para iterar em direção à raiz. A fórmula do Método de Newton é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, é a derivada da função . Vamos começar escolhendo um ponto inicial no intervalo dado, digamos .

Passo 3

Agora, vamos calcular f'(x) = -sin(x) - e^x e f(-1.3) = cos(-1.3) - e^-1.3 approx 0.2675 - 0.2725 = -0.005 .
Primeiro, a derivada de f'(-1.3) = -sin(-1.3) - e^-1.3 approx 1.0705 - 0.2725 = 0.798 é:
Então, para :

Passo 4

Aplicando a fórmula do Método de Newton:
x1 = x0 - f(x0)f'(x0) = -1.3 - ( -0.0050.798 ) approx -1.3 + 0.0063 = -1.2937
Vamos repetir esse processo até que a diferença entre os valores seja menor que .

Passo 5

Método da Secante
Agora, vamos para o Método da Secante. Esse método é parecido com o Método de Newton, mas não precisa da derivada da função. Em vez disso, ele usa dois pontos iniciais para aproximar a derivada. A fórmula do Método da Secante é:
xn+1 = xn - f(xn) cdot xn - xn-1f(xn) - f(xn-1)
Vamos escolher dois pontos iniciais no intervalo , por exemplo, e .

Passo 6

Primeiro, calculamos f(-1.5) = cos(-1.5) - e^-1.5 approx 0.0707 - 0.2231 = -0.1524 e f(-1.2) = cos(-1.2) - e^-1.2 approx 0.3624 - 0.3012 = 0.0612 :

Passo 7

Aplicando a fórmula do Método da Secante:
x2 = x1 - f(x1) cdot x1 - x0f(x1) - f(x0) = -1.2 - 0.0612 cdot -1.2 - (-1.5)0.0612 - (-0.1524) approx -1.2 - 0.0612 cdot 0.30.2136 approx -1.2 - 0.086 = -1.286
Vamos continuar iterando esse processo até alcançar a precisão desejada.

Resposta

Após aplicar ambos os métodos e realizar as iterações necessárias, a aproximação para a raiz de no intervalo é aproximadamente .

Exercícios relacionados