Aplique o Método de Newton e o Método da Secante para:
(a) Encontrar uma aproximação para a raiz de no intervalo com 7 dígitos significativos, usando arredondamento e erro relativo menor que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma aproximação para a raiz da função no intervalo . Para isso, vamos usar dois métodos bem legais: o Método de Newton e o Método da Secante. Vamos precisar entender um pouco sobre esses métodos e aplicar passos iterativos para chegar pertinho da raiz com 7 dígitos significativos e um erro relativo menor que .

Passo 2

Método de Newton
Primeiro, vamos falar sobre o Método de Newton. Esse método é uma técnica para encontrar raízes de funções que usamos quando queremos uma aproximação mais rápida. Basicamente, ele usa a derivada da função para iterar em direção à raiz. A fórmula do Método de Newton é:
Aqui, é a derivada da função . Vamos começar escolhendo um ponto inicial no intervalo dado, digamos .

Passo 3

Agora, vamos calcular e .
Primeiro, a derivada de é:
Então, para :

Passo 4

Aplicando a fórmula do Método de Newton:
Vamos repetir esse processo até que a diferença entre os valores seja menor que .

Passo 5

Método da Secante
Agora, vamos para o Método da Secante. Esse método é parecido com o Método de Newton, mas não precisa da derivada da função. Em vez disso, ele usa dois pontos iniciais para aproximar a derivada. A fórmula do Método da Secante é:
Vamos escolher dois pontos iniciais no intervalo , por exemplo, e .

Passo 6

Primeiro, calculamos e :

Passo 7

Aplicando a fórmula do Método da Secante:
Vamos continuar iterando esse processo até alcançar a precisão desejada.

Resposta

Após aplicar ambos os métodos e realizar as iterações necessárias, a aproximação para a raiz de no intervalo é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Usando aproximação de Taylor, é possível verificar que a sequência obtida pelo Método de Newton satisfaz a seguinte relação:
em que é o zero de . Baseado nisso, o que ocorre com o método se a segunda derivada for muito maior que ? E se o erro absoluto inicial for maior que 1 ?
Aplique o Método de Newton e o Método da Secante para:
(b) Encontrar uma aproximação para a raiz de no intervalo com . Use 7 dígitos significativos e arredondamento.
Escreva um algoritmo para achar a raiz da função com um erro absoluto máximo utilizando o método de Newton a partir de uma estimativa inicial . Escreva outro algoritmo com o método da Secante a partir de duas estimativas iniciais e .