Usando aproximação de Taylor, é possível verificar que a sequência obtida pelo Método de Newton satisfaz a seguinte relação:
em que é o zero de . Baseado nisso, o que ocorre com o método se a segunda derivada for muito maior que ? E se o erro absoluto inicial for maior que 1 ?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está nos perguntando. Estamos falando do Método de Newton, que é uma técnica para encontrar as raízes de uma função . A relação dada usa a aproximação de Taylor para descrever como o erro entre a aproximação atual e a raiz verdadeira se comporta na próxima iteração .
A fórmula é:
Aqui, e são as primeiras e segundas derivadas de , respectivamente, e está entre e . Vamos usar essa fórmula para entender dois cenários:
Quando é muito maior que .
Quando o erro inicial é maior que 1.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o caso onde a segunda derivada é muito maior que a primeira derivada .
Na fórmula, o termo multiplica o quadrado do erro atual . Se for muito grande em comparação com , esse quociente se torna grande.
Isso significa que, mesmo que o erro seja pequeno, ao ser elevado ao quadrado e multiplicado por um grande fator, o erro pode não diminuir de forma eficiente. Na melhor das hipóteses, o erro pode ainda diminuir, mas muito lentamente. Na pior das hipóteses, pode até aumentar, fazendo com que o método não convirja para a raiz desejada.
Passo 3
Agora, vamos considerar o erro inicial sendo maior que 1.
Na fórmula, temos o erro atualizado dependendo do quadrado do erro atual . Se , então será ainda maior, já que elevar um número maior que 1 ao quadrado aumenta seu valor.
Além disso, combinando com o fator , se o erro inicial já for grande, o próximo erro pode se tornar ainda maior. Isso pode levar o Método de Newton a divergir, ou seja, a se afastar da raiz em vez de aproximar-se dela.
Resposta
Se a segunda derivada for muito maior que , o Método de Newton pode divergir ou convergir muito lentamente porque o erro na próxima iteração pode aumentar ou não diminuir de forma eficiente. Além disso, se o erro absoluto inicial for maior que 1, o Método de Newton tende a divergir, afastando-se da raiz em vez de se aproximar dela.