Aplique o Método de Newton para obter o valor aproximado de raiz3356 com precisão de 10^-2. Tome como ponto inicial o número mais próximo de 3356 cuja raiz quadrada seja um número natural.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar uma aproximação para a raiz quadrada de 3356 usando o Método de Newton. O Método de Newton é uma técnica para encontrar raízes de funções de forma iterativa. Para isso, precisamos escolher um ponto de partida, que no caso é o número inteiro mais próximo de 3356 cuja raiz quadrada seja um número natural. Vamos usar esse ponto inicial para começar as iterações e chegar ao valor de raiz3356 com uma precisão de 10^-2.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o número mais próximo de 3356 cuja raiz quadrada seja inteira. Sabemos que:
raiz58^2 = 58 pois 58^2 = 3364
E
raiz57^2 = 57 pois 57^2 = 3249
Como 3356 está mais próximo de 3364 do que de 3249, escolhemos 58 como nosso ponto inicial ( x0).

Passo 3

O Método de Newton usa a fórmula de iteração:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde f(x) = x^2 - S e S é o número do qual queremos a raiz quadrada, neste caso, 3356.
Então, temos:
f(x) = x^2 - 3356
E sua derivada:
f'(x) = 2x

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula com nosso ponto inicial x0 = 58:
x1 = 58 - 58^2 - 33562 times 58
Calculando o numerador:
58^2 = 3364 3364 - 3356 = 8
Então:
x1 = 58 - 8116 x1 = 58 - 0.0689655 x1 approx 57.9310345

Passo 5

Vamos verificar a precisão alcançada. Calculamos a diferença entre x1 e x0:
|58 - 57.9310345| = 0.0689655
Como queremos uma precisão de 10^-2 (ou duas casas decimais), ainda não atingimos a precisão desejada. Vamos realizar mais uma iteração.

Passo 6

Aplicamos novamente a fórmula com x1 approx 57.9310345:
x2 = 57.9310345 - (57.9310345)^2 - 33562 times 57.9310345
Calculando (57.9310345)^2:
57.9310345^2 approx 3355.896
Então:
x2 = 57.9310345 - 3355.896 - 3356115.862069 x2 = 57.9310345 - -0.104115.862069 x2 approx 57.9310345 + 0.000898 x2 approx 57.931933

Passo 7

Agora, verificamos a diferença entre x2 e x1:
|57.931933 - 57.9310345| = 0.0008985
Essa diferença é menor que 10^-2, o que significa que alcançamos a precisão desejada.

Resposta

Aproximadamente, raiz3356 approx 57.93.

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