Aplique o Método de Newton para obter o valor aproximado de com precisão de . Tome como ponto inicial o número mais próximo de 3356 cuja raiz quadrada seja um número natural.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar uma aproximação para a raiz quadrada de 3356 usando o Método de Newton. O Método de Newton é uma técnica para encontrar raízes de funções de forma iterativa. Para isso, precisamos escolher um ponto de partida, que no caso é o número inteiro mais próximo de 3356 cuja raiz quadrada seja um número natural. Vamos usar esse ponto inicial para começar as iterações e chegar ao valor de com uma precisão de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o número mais próximo de 3356 cuja raiz quadrada seja inteira. Sabemos que:
E
Como 3356 está mais próximo de 3364 do que de 3249, escolhemos 58 como nosso ponto inicial ( ).

Passo 3

O Método de Newton usa a fórmula de iteração:
Onde e é o número do qual queremos a raiz quadrada, neste caso, 3356.
Então, temos:
E sua derivada:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula com nosso ponto inicial :
Calculando o numerador:
Então:

Passo 5

Vamos verificar a precisão alcançada. Calculamos a diferença entre e :
Como queremos uma precisão de (ou duas casas decimais), ainda não atingimos a precisão desejada. Vamos realizar mais uma iteração.

Passo 6

Aplicamos novamente a fórmula com :
Calculando :
Então:

Passo 7

Agora, verificamos a diferença entre e :
Essa diferença é menor que , o que significa que alcançamos a precisão desejada.

Resposta

Aproximadamente, .

Exercícios relacionados

Use o Método de Newton para obter uma aproximação para esta raiz. Tome .
Considere a função . Utilize os Métodos de Newton e da Secante para obter os pontos críticos de , com uma precisão de ou até atingir o número máximo de 3 iterações.