Aplique o Método de Newton para obter o valor aproximado de
com precisão de
. Tome como ponto inicial o número mais próximo de 3356 cuja raiz quadrada seja um número natural.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar uma aproximação para a raiz quadrada de 3356 usando o Método de Newton. O Método de Newton é uma técnica para encontrar raízes de funções de forma iterativa. Para isso, precisamos escolher um ponto de partida, que no caso é o número inteiro mais próximo de 3356 cuja raiz quadrada seja um número natural. Vamos usar esse ponto inicial para começar as iterações e chegar ao valor de
com uma precisão de
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o número mais próximo de 3356 cuja raiz quadrada seja inteira. Sabemos que:
E
Como 3356 está mais próximo de 3364 do que de 3249, escolhemos 58 como nosso ponto inicial (
).
Passo 3
O Método de Newton usa a fórmula de iteração:
Onde
e
é o número do qual queremos a raiz quadrada, neste caso, 3356.
Então, temos:
E sua derivada:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula com nosso ponto inicial
:
Calculando o numerador:
Então:
Passo 5
Vamos verificar a precisão alcançada. Calculamos a diferença entre
e
:
Como queremos uma precisão de
(ou duas casas decimais), ainda não atingimos a precisão desejada. Vamos realizar mais uma iteração.
Passo 6
Aplicamos novamente a fórmula com
:
Calculando
:
Então:
Passo 7
Agora, verificamos a diferença entre
e
:
Essa diferença é menor que
, o que significa que alcançamos a precisão desejada.
Resposta
Aproximadamente,
.
Exercícios relacionados
Use o Método de Newton para obter uma aproximação para esta raiz. Tome
.
Considere a função
. Utilize os Métodos de Newton e da Secante para obter os pontos críticos de
, com uma precisão de
ou até atingir o número máximo de 3 iterações.