Considere a função
. Utilize os Métodos de Newton e da Secante para obter os pontos críticos de
, com uma precisão de
ou até atingir o número máximo de 3 iterações.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e precisa encontrar os pontos críticos dela. Os pontos críticos são onde a derivada da função é igual a zero. Para isso, vamos usar dois métodos bem legais: o Método de Newton e o Método da Secante. A nossa meta é chegar a uma precisão de
ou fazer no máximo 3 iterações. Vamos precisar saber como derivar funções e entender um pouco sobre esses métodos numéricos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
A função dada é:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
em relação a é . - Para
, usamos a regra do produto:
Então, a derivada total é:
Passo 3
Agora, queremos encontrar os pontos críticos, ou seja, resolver
:
Isso não dá para resolver de forma exata facilmente, então vamos usar métodos numéricos para aproximar a solução. Vamos começar com o Método de Newton.
Passo 4
Método de Newton:
Esse método ajuda a encontrar raízes de uma equação usando uma aproximação inicial e refinando-a.
A fórmula do Método de Newton é:
No nosso caso, queremos resolver
. Então, a função que vamos considerar para o método é:
E sua derivada:
Vamos precisar de uma aproximação inicial. Vamos escolher
porque é um valor simples e sabemos que
, então:
Passo 5
Vamos aplicar o Método de Newton com
.
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Após 3 iterações, nosso valor aproximado para
é
.
Passo 6
Agora vamos usar o Método da Secante. Esse método também encontra raízes de equações, mas usa duas aproximações iniciais e não requer a derivada.
A fórmula do Método da Secante é:
Vamos escolher
e
como aproximações iniciais.
Passo 7
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Após 3 iterações, nosso valor aproximado para
é
.
Resposta
Usando o Método de Newton, encontramos o ponto crítico aproximadamente em
e, pelo Método da Secante, em
, ambos com uma precisão de
ou após 3 iterações.
Exercícios relacionados
Aplique o Método de Newton para obter o valor aproximado de
com precisão de
. Tome como ponto inicial o número mais próximo de 3356 cuja raiz quadrada seja um número natural.
Utilize o item (a) para encontrar um valor aproximado de
com
e
.
Utilize o Método de Newton para encontrar uma aproximação com precisão de
do valor de
que produz o ponto no gráfico de
que está mais próximo ao ponto
. Em seguida, repita a resolução do problema usando o Método da Secante. (Dica: minimize a função
, em que
representa a distância do ponto
ao ponto
.