Considere a função . Utilize os Métodos de Newton e da Secante para obter os pontos críticos de , com uma precisão de ou até atingir o número máximo de 3 iterações.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e precisa encontrar os pontos críticos dela. Os pontos críticos são onde a derivada da função é igual a zero. Para isso, vamos usar dois métodos bem legais: o Método de Newton e o Método da Secante. A nossa meta é chegar a uma precisão de ou fazer no máximo 3 iterações. Vamos precisar saber como derivar funções e entender um pouco sobre esses métodos numéricos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
A função dada é:
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • Para , usamos a regra do produto:
Então, a derivada total é:

Passo 3

Agora, queremos encontrar os pontos críticos, ou seja, resolver :
Isso não dá para resolver de forma exata facilmente, então vamos usar métodos numéricos para aproximar a solução. Vamos começar com o Método de Newton.

Passo 4

Método de Newton:
Esse método ajuda a encontrar raízes de uma equação usando uma aproximação inicial e refinando-a.
A fórmula do Método de Newton é:
No nosso caso, queremos resolver . Então, a função que vamos considerar para o método é:
E sua derivada:
Vamos precisar de uma aproximação inicial. Vamos escolher porque é um valor simples e sabemos que , então:

Passo 5

Vamos aplicar o Método de Newton com .
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Após 3 iterações, nosso valor aproximado para é .

Passo 6

Agora vamos usar o Método da Secante. Esse método também encontra raízes de equações, mas usa duas aproximações iniciais e não requer a derivada.
A fórmula do Método da Secante é:
Vamos escolher e como aproximações iniciais.

Passo 7

Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Após 3 iterações, nosso valor aproximado para é .

Resposta

Usando o Método de Newton, encontramos o ponto crítico aproximadamente em e, pelo Método da Secante, em , ambos com uma precisão de ou após 3 iterações.

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Aplique o Método de Newton para obter o valor aproximado de com precisão de . Tome como ponto inicial o número mais próximo de 3356 cuja raiz quadrada seja um número natural.
Utilize o item (a) para encontrar um valor aproximado de com e .
Utilize o Método de Newton para encontrar uma aproximação com precisão de do valor de que produz o ponto no gráfico de que está mais próximo ao ponto . Em seguida, repita a resolução do problema usando o Método da Secante. (Dica: minimize a função , em que representa a distância do ponto ao ponto .