Considere a função f(x)=x^22+x(ln (x)-1). Utilize os Métodos de Newton e da Secante para obter os pontos críticos de f, com uma precisão de 10^-6 ou até atingir o número máximo de 3 iterações.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e precisa encontrar os pontos críticos dela. Os pontos críticos são onde a derivada da função é igual a zero. Para isso, vamos usar dois métodos bem legais: o Método de Newton e o Método da Secante. A nossa meta é chegar a uma precisão de ou fazer no máximo 3 iterações. Vamos precisar saber como derivar funções e entender um pouco sobre esses métodos numéricos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) = x^22 + x(ln(x) - 1) . A derivada nos ajuda a entender onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
A função dada é:
ddx[x(ln(x) - 1)] = 1 cdot (ln(x) - 1) + x cdot 1x = ln(x) - 1 + 1 = ln(x)
Derivando termo a termo:
  • A derivada de f'(x) = x + ln(x) em relação a é .
  • Para , usamos a regra do produto:
Então, a derivada total é:

Passo 3

Agora, queremos encontrar os pontos críticos, ou seja, resolver x + ln(x) = 0 :
Isso não dá para resolver de forma exata facilmente, então vamos usar métodos numéricos para aproximar a solução. Vamos começar com o Método de Newton.

Passo 4

Método de Newton:
Esse método ajuda a encontrar raízes de uma equação usando uma aproximação inicial e refinando-a.
A fórmula do Método de Newton é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
No nosso caso, queremos resolver g(x) = x + ln(x) . Então, a função que vamos considerar para o método é:
g'(x) = 1 + 1x
E sua derivada:
g(1) = 1 + ln(1) = 1
Vamos precisar de uma aproximação inicial. Vamos escolher porque é um valor simples e sabemos que , então:

Passo 5

Vamos aplicar o Método de Newton com x1 = x0 - g(x0)g'(x0) = 1 - 11 + 1 = 1 - 12 = 0.5 .
Iteração 1:
g(0.5) = 0.5 + ln(0.5) approx 0.5 - 0.693147 = -0.193147
Iteração 2:
g'(0.5) = 1 + 10.5 = 1 + 2 = 3
x2 = 0.5 - -0.1931473 approx 0.5 + 0.0643839 = 0.5643839
g(0.5643839) = 0.5643839 + ln(0.5643839) approx 0.5643839 - 0.57025 = -0.0058661
Iteração 3:
g'(0.5643839) = 1 + 10.5643839 approx 1 + 1.772 = 2.772
x3 = 0.5643839 - -0.00586612.772 approx 0.5643839 + 0.002112 = 0.5664959
Após 3 iterações, nosso valor aproximado para é .

Passo 6

Agora vamos usar o Método da Secante. Esse método também encontra raízes de equações, mas usa duas aproximações iniciais e não requer a derivada.
A fórmula do Método da Secante é:
xn+1 = xn - g(xn) cdot xn - xn-1g(xn) - g(xn-1)
Vamos escolher e como aproximações iniciais.

Passo 7

Iteração 1:
g(1) = 1 + ln(1) = 1
g(0.5) = 0.5 + ln(0.5) approx 0.5 - 0.693147 = -0.193147
x2 = 0.5 - (-0.193147) cdot 0.5 - 1-0.193147 - 1
x2 = 0.5 + 0.193147 cdot -0.5-1.193147 approx 0.5 + 0.0809 = 0.5809
Iteração 2:
g(0.5809) = 0.5809 + ln(0.5809) approx 0.5809 - 0.5445 = 0.0364
g(0.5) = -0.193147
x3 = 0.5809 - 0.0364 cdot 0.5809 - 0.50.0364 - (-0.193147)
x3 approx 0.5809 - 0.0364 cdot 0.08090.2293 approx 0.5809 - 0.0128 = 0.5681
Iteração 3:
g(0.5681) = 0.5681 + ln(0.5681) approx 0.5681 - 0.5660 = 0.0021
g(0.5809) = 0.0364
x4 = 0.5681 - 0.0021 cdot 0.5681 - 0.58090.0021 - 0.0364
x4 approx 0.5681 - 0.0021 cdot -0.0128-0.0343 approx 0.5681 - 0.0008 = 0.5673
Após 3 iterações, nosso valor aproximado para é .

Resposta

Usando o Método de Newton, encontramos o ponto crítico aproximadamente em e, pelo Método da Secante, em , ambos com uma precisão de ou após 3 iterações.

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