Suponha que a reta tangente à curva y=f(x) no ponto (2,5) tenha a equação y=9-2 x. Se for utilizado o Método de Newton para localizar uma solução aproximada da equação f(x)=0 com a aproximação inicial x0=2, encontre a aproximação seguinte x1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Método de Newton, que é uma técnica pra encontrar soluções aproximadas de equações. No caso, temos a função f(x) e queremos achar onde ela é igual a zero, ou seja, resolver f(x) = 0. A gente sabe que a reta tangente à curva y = f(x) no ponto (2,5) é y = 9 - 2x. Vamos usar essa informação pra aplicar o Método de Newton e encontrar a próxima aproximação, x1, começando de x0 = 2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do Método de Newton. Ela é dada por:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, f(xn) é o valor da função na aproximação atual xn, e f'(xn) é a derivada da função nessa mesma aproximação. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto.

Passo 3

Vamos identificar o que sabemos do enunciado:
  • Sabemos que no ponto x0 = 2, a função vale f(2) = 5.
  • A reta tangente nesse ponto tem a equação y = 9 - 2x. O coeficiente de x aqui é -2, que representa a derivada da função nesse ponto, ou seja, f'(2) = -2.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula do Método de Newton com esses valores:
  • xn = x0 = 2
  • f(xn) = f(2) = 5
  • f'(xn) = f'(2) = -2
Substituindo na fórmula:
x1 = 2 - 5-2

Passo 5

Vamos fazer as contas:
  • Dividir 5 por -2 dá -2,5.
  • Então:
x1 = 2 - (-2,5) = 2 + 2,5 = 4,5

Resposta

A próxima aproximação é x1 = 4,5.

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