Suponha que a reta tangente à curva
no ponto
tenha a equação
. Se for utilizado o Método de Newton para localizar uma solução aproximada da equação
com a aproximação inicial
, encontre a aproximação seguinte
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Método de Newton, que é uma técnica pra encontrar soluções aproximadas de equações. No caso, temos a função
e queremos achar onde ela é igual a zero, ou seja, resolver
. A gente sabe que a reta tangente à curva
no ponto
é
. Vamos usar essa informação pra aplicar o Método de Newton e encontrar a próxima aproximação,
, começando de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do Método de Newton. Ela é dada por:
Aqui,
é o valor da função na aproximação atual
, e
é a derivada da função nessa mesma aproximação. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto.
Passo 3
Vamos identificar o que sabemos do enunciado:
- Sabemos que no ponto
, a função vale . - A reta tangente nesse ponto tem a equação
. O coeficiente de aqui é , que representa a derivada da função nesse ponto, ou seja, .
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula do Método de Newton com esses valores:
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos fazer as contas:
- Dividir 5 por -2 dá
. - Então:
Resposta
A próxima aproximação é
.