Aplique, se possível, o teorema de Rolle para a função f(x) = |x|, em [-1, 1]; em caso afirmativo encontre o ponto que zera a derivada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa ver se dá pra aplicar o Teorema de Rolle no intervalo . O Teorema de Rolle é uma ferramenta da cálculo diferencial que, basicamente, diz que se uma função é contínua no intervalo fechado , diferenciável no intervalo aberto , e se , então existe pelo menos um ponto em onde a derivada . Para resolver isso, vamos precisar conferir se todas essas condições são atendidas pela nossa função.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se a função é contínua no intervalo . A função valor absoluto é contínua em todos os lugares, então tá tudo certo nesse ponto.

Passo 3

Agora, precisamos ver se a função é diferenciável no intervalo aberto . Olha só: a derivada de é quando e quando . Mas no ponto , a derivada não existe porque há um “cantinho” ali (a função muda de inclinação abruptamente). Então, a função não é diferenciável em , que está dentro do intervalo . Isso já quebra uma das condições do Teorema de Rolle.

Passo 4

Mesmo assim, vamos conferir a última condição: se . Calculando:
Então, está valendo.

Passo 5

Recapitulando:
  1. A função é contínua em .
  2. A função não é diferenciável em todo o intervalo aberto porque não tem derivada em .
  3. .
Como a segunda condição (diferenciabilidade em ) não é atendida, não podemos aplicar o Teorema de Rolle nesse caso.

Resposta

Não é possível aplicar o Teorema de Rolle à função no intervalo porque a função não é diferenciável em todo o intervalo aberto . Portanto, não existe um ponto onde a derivada zera dentro desse intervalo.

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