Aplique, se possível, o teorema de Rolle para a função
, em
; em caso afirmativo encontre o ponto que zera a derivada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa ver se dá pra aplicar o Teorema de Rolle no intervalo
. O Teorema de Rolle é uma ferramenta da cálculo diferencial que, basicamente, diz que se uma função é contínua no intervalo fechado
, diferenciável no intervalo aberto
, e se
, então existe pelo menos um ponto
em
onde a derivada
. Para resolver isso, vamos precisar conferir se todas essas condições são atendidas pela nossa função.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se a função
é contínua no intervalo
. A função valor absoluto é contínua em todos os lugares, então tá tudo certo nesse ponto.
Passo 3
Agora, precisamos ver se a função é diferenciável no intervalo aberto
. Olha só: a derivada de
é
quando
e
quando
. Mas no ponto
, a derivada não existe porque há um “cantinho” ali (a função muda de inclinação abruptamente). Então, a função não é diferenciável em
, que está dentro do intervalo
. Isso já quebra uma das condições do Teorema de Rolle.
Passo 4
Mesmo assim, vamos conferir a última condição: se
. Calculando:
Então,
está valendo.
Passo 5
Recapitulando:
- A função é contínua em
. - A função não é diferenciável em todo o intervalo aberto
porque não tem derivada em . -
.
Como a segunda condição (diferenciabilidade em
) não é atendida, não podemos aplicar o Teorema de Rolle nesse caso.
Resposta
Não é possível aplicar o Teorema de Rolle à função
no intervalo
porque a função não é diferenciável em todo o intervalo aberto
. Portanto, não existe um ponto onde a derivada zera dentro desse intervalo.